uzluga.ru
добавить свой файл

Релятивистские эффекты первого порядка в средах с динамической…



РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В СРЕДАХ

С ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ


Ал.С. Киселев, Ан.С. Киселев

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, Н.Н. Розанов


В работе рассмотрены релятивистские эффекты, проявляющиеся при взаимодействии оптического излучения с динамически неоднородными прозрачными средами. Представлен обзор исследований в области распространения излучения через различные неоднородности. Приведены аналитическая теория и результаты численного расчета рассеянного излучения после прохождения через области неоднородности цилиндрической и сферической формы. Проанализировано излучение, рассеянное на неоднородностях различных размеров и при различных углах падения опорной волны относительно оси вращения неоднородности. Проведен сравнительный анализ и предложены пути возможных решений вопросов прикладного характера.


Введение

Теория электромагнитных явлений в движущихся сплошных средах, основывающаяся на дифференциальных уравнениях Максвелла и материальных уравнениях Минковского [1, 2], описывает целый ряд эффектов, но количество выполненных экспериментов невелико. Исследования ограничивались случаем пространственно однородной скорости движения среды, влияние неоднородности движения на распространение оптического излучения рассмотрено недостаточно полно. Еще в 1818 г. Френель на основе теории частичного увлечения эфира движущейся средой получил выражение для показателя преломления в этой среде [3]. Это явление экспериментально подтверждено Физо в 1851 г. Интересно, что, несмотря на отказ от теории эфира, в дальнейшем формула Френеля оказалась верной и была выведена в частной теории относительности.

Учет неоднородности скорости приводит к ряду новых существенных эффектов [4], один из которых рассматривается на следующем примере: в объеме прозрачной среды вокруг своей оси симметрии вращается цилиндр или шар той же среды (с тем же показателем преломления). В данном сообщении рассматриваются характеристики излучения, рассеянного электромагнитного излучения при прохождении через вращающееся тело. Здесь мы встречаемся с проявлением скорости движения в «чистом виде», поскольку в отсутствие скорости все пространство однородно и рассеяние не имеет места. Таким образом, релятивистские эффекты приводят к появлению нового механизма рассеяния.

В то же время неоднородность скорости движения среды должна приводить к деформациям среды, вызывающих неоднородность и анизотропию ее свойств (гиромагнитные и динамооптические явления [2]). Пренебрежение этими явлениями в оптической области адекватно достаточно малым скоростям движения . Указанные нерелятивистские эффекты вызывают квадратичное по скорости изменение показателя преломления. Величина же релятивистских эффектов – первого порядка по скорости , где скорость света в вакууме. Таким образом, релятивистские эффекты являются основными при условии малости скорости движения среды.


  1. Аналитическое описание и исходные соотношения

Как уже отмечалось ранее, в качестве исходных уравнений будем использовать уравнения Максвелла в дифференциальной форме (1.1) и приближенные с точностью до первого порядка по параметру материальные уравнения Минковского (1.2) [5]:

(1.1)

(1.2)

где напряженности электрического и магнитного полей; электрическая и магнитная индукции; и диэлектрическая и магнитная проницаемости однородной неподвижной среды (при ); скорость света в вакууме; время.

Величины и соответственно описывают динамооптические и гиромагнитные явления, а также другие возможные малые возмущения среды. Эти величины характеризуют нерелятивистские эффекты, которые при условии малости скорости по отношению к скорости света в вакууме вызовут незначительное по сравнению с релятивистскими возмущение среды. Влияние этих эффектов в дальнейшем не рассматривается.

В случае малых скоростей движения среды из уравнений (1.1) и (1.2) получаем волновые уравнения для и :

, (1.3)

где




, (1.4)

(1.5)

Для решения (1.3) воспользуемся теорией возмущения и положим, что и , где напряженности поля рассеянной волны. В нулевом порядке по параметру теории возмущений решение и считаем известным, а рассеянное излучение находится из первого порядка теории возмущений решением (1.3). Тогда запишем:

(1.6)

Здесь величины и определяются из выражений:

(1.7)

(1.8)

Решения этих уравнений для довольно больших расстояний до области неоднородности даются в виде запаздывающих потенциалов [2, 6]:

(1.9)

(1.10)

где расстояние от элементарного объема движущейся неоднородности до точки, в которой проводится диагностика полей; единичный вектор в том же направлении обозначим через ; радиус-вектор, по которому ведется интегрирование – через . Следует считать, что неоднородность скорости движения сосредоточена в какой-либо ограниченной области среды. Начало координат помещается в любую «среднюю» точку этой области.

Представленные выражения (1.9) и (1.10) дают полную картину решения задачи рассеяния (дифракции) на неоднородностях скорости движения среды произвольной формы и размеров [5]. Падающее излучение также имеет произвольный вид.

В данном сообщении рассматривается стационарное движение среды (скорость среды в каждой ее точке не меняется со временем). В этом случае спектр излучения не меняется и частота рассеянного излучения не отличается от частоты излучения опорной волны. Тем самым удается свести линейную задачу о рассеянии импульса оптического излучения к задаче рассеяния отдельных плоских монохроматических электромагнитных волн.

Используя выше сказанное, перейдем к рассмотрению случая падения на локализованную неоднородность скорости движения среды излучения в виде плоской монохроматической волны с частотой и волновым числом (показатель преломления однородной неподвижной среды) [7]:

, (1.11)

, (1.12)

где комплексные числа, характеризующие поляризацию падающего излучения; угол наклона оси падающего луча относительно оси вращения неоднородности.


  1. Численное моделирование

Как уже отмечалось ранее, речь пойдет только лишь о цилиндрических и сферических неоднородностях скорости движения среды. В обоих случаях будет продемонстрировано влияния взаимного наклона прямой, определяющей направление распространения падающей плоской монохроматической волны, и оси симметрии вращающейся неоднородности.


    1. Рассеяние на вращающемся цилиндре

В этом разделе мы рассмотрим рассеяние электромагнитных волн для случая, когда решение задачи представляется в аналитическом виде. Это задача рассеяния на неоднородностях скорости вращения цилиндрической формы.

Для описания математической модели рассеяния на вращающейся цилиндрической неоднородности укажем сначала используемые системы координат. На рисунке 1 система координат связана с областью неоднородности таким образом, что ось совпадает с осью симметрии (вращения) цилиндрической неоднородности. Система координат связана с падающей волной, причем направление распространение этой волны совпадает с осью и образует с осью вращения неоднородности угол . Для упрощения расчетов данные системы координат не только имеют общую точку – начало координат ( и совпадают), но также и ось совпадает с осью . По этой причине плоскости и тоже совпадают.





Рис. 1. Система координат для цилиндрической неоднородности


Далее перейдем к сферическим координатам, которые описываются выражениями:

(2.1.1)

где угол, откладываемый от оси распространения падающей волны до радиус-вектора по направлению (изменяется в пределах от до ); угол между проекцией указанного выше вектора на плоскость и осью (изменяется от до ).

Линейную скорость движения среды запишем в виде:

, (2.1.2)

где угловая скорость вращения цилиндрической неоднородности; скачкообразная функция, удовлетворяющая условию:

(объем неоднородности). (2.1.3)

Разделим поляризации, представив электрическое и магнитное поля в виде:

(2.1.4)

Дальнейшие вычисления и расчеты целесообразней проводить только применительно к электрическому полю, поскольку для магнитного поля справедлива та же математика, за небольшой лишь разницей: напряженности магнитного и электрического полей связаны друг с другом посредством коэффициентов пересчета:

(2.1.5)

В общем случае можно записать в виде:

, (2.1.6)

где множители векторов также представляются в виде:

(2.1.7)

Для вращающейся неоднородности в форме цилиндра указанные параметры принимают значения [7]:

Параметр .

(2.1.8)

Параметр .

(2.1.9)

Параметр .

(2.1.10)

В этих выражениях использовались обозначения проекций единичного вектора направления рассеяния:

(2.1.11)

и параметр связан с ними соотношением:

(2.1.12)

Указанные параметры определяются только положением точки наблюдения, чего нельзя сказать о другом коэффициенте в выражении (2.1.6). Множитель определяется непосредственно из параметров и характеристик вращающейся неоднородности, а именно размерами, скоростью вращения, показателем преломления и др. Этот параметр определяется выражением:

(2.1.13)

где и параметры геометрической формы вращающейся цилиндрической неоднородности, соответственно радиус основания и полувысота цилиндра; функция Бесселя второго порядка.

При непосредственной регистрации рассеянного излучения без его смешения с опорной волной энергетические характеристики по угловой скорости вращения (также по параметру ) определяются дифференциальным сечением рассеяния , которое в свою очередь вводится соотношением:

, (2.1.14)

где плотность энергии в падающей волне [8]; плотность рассеянной электромагнитной энергии, определяемая зависимостью:

(2.1.15)

Проинтегрировав дифференциальное сечение по телесному углу, получим полное сечение рассеяния .

Наиболее интересными случаями решения задачи рассеяния на неоднородности скорости движения среды являются два ортогональных направления распространения падающей волны: вдоль оси вращения неоднородности и по перпендикулярному ей направлению.

Дифференциальное сечение рассеяния на конечном круговом цилиндре при падении излучения параллельно оси вращения принимает вид [7]:

(2.1.16)

Тогда величина в (2.1.13) сводится к выражению:

(2.1.17)

В случае перпендикулярности волнового вектора падающей волны направлению оси [9]:

. (2.1.18)

Здесь параметр принимает значение:

(2.1.19)

Графическое отображение полученных результатов для различных неоднородностей представлено в следующем разделе.


    1. Рассеяние на вращающемся шаре

Другим, не менее важным, случаем рассмотрения рассеяния на неоднородности скорости движения среды является вращающаяся сферическая частица. Вращение также происходит вокруг неподвижной оси – вокруг одного из диаметров для данной неоднородности. Система координат для такой частицы представлена на рисунке 2.

Для сферической частицы и для решения задачи рассеяния на ней характерны такая же структура цикла вычислений и те же математические зависимости, что и для цилиндрической частицы. Отличаются лишь численные значения соответствующих параметров. Однако же решение задачи рассеяния на неоднородностях сферической формы не удается получить в явном виде. Поэтому далее приводятся результаты численных расчетов дифференциального и интегрального сечений для различных неоднородностей.






Рис. 2. Система координат для сферической неоднородности




  1. Результаты численного моделирования и их анализ

На рисунках приведены в двух видах – пространственного графика и плоского (вид сверху) – нормированные дифференциальные сечения для различных размеров цилиндрической и сферической неоднородностей.


    1. Вращающийся цилиндр





Рис. 3. Сечение рассеяния. Размер цилиндра и . а) б) в)





Рис. 4. Сечение рассеяния. Размер цилиндра и . а) б) в)


Дифференциальное сечение рассеяние определяется главным образом радиусом цилиндра: с ростом параметра оно увеличивается и при некоторых значениях искомой величины превышает , что сопоставимо с сечениями рэлеевского и комбинационного рассеяния частиц [10]. Полное сечение рассеяния также растет. Однако с увеличением размеров цилиндра (особенно радиуса основания) вид индикатрисы в целом не изменяется.

    1. Вращающийся шар




Рис. 5. Сечение рассеяния. Размер шара . а) б) в)

Для сферических неоднородностей имеется только один параметр – радиус шара . Из рисунков, приведенных в этом разделе, видно, что рассеяние в заднюю полусферу при сменяется с ростом на рассеяние преимущественно в переднюю полусферу. При этом все максимумы расположены симметрично вдоль линии .





Рис. 6. Сечение рассеяния. Размер шара . а) б) в)


Приведем численные значения некоторых параметров, определяющих величину нормированного дифференциального сечения рассеяния на неоднородностях скорости движения среды как цилиндрической, так и сферической формы: длина волны оптического излучения ; показатель преломления среды (вода); компоненты поляризации падающей волны . Для вычисления угловая скорость вращения в расчетах бралась разной, постоянной была линейная скорость на границе неоднородности ().

    1. Оценки и обсуждение результатов

Анализ рассеяния на неоднородностях скорости движения среды показывает, что сечения рассеяния очень малы. Но при достаточных размерах как цилиндрической, так и сферической неоднородности они сопоставимы с сечением комбинационного рассеяния. Стоит отметить, что нарушение ламинарного течения жидкости приводит к появлению области нестабильности, где рассеяние хоть и мало, но поддается наблюдению. Если даже оно и превосходит рассеяние на движущейся неоднородности, то изменения, вносимые последними в вид угловой зависимости, могут сыграть существенную роль. Развитие техники прецизионных исследований (в частности в кольцевом лазере), связанных с лазерами, дает возможность надежного наблюдения релятивистских эффектов первого порядка.


  1. Заключение

Остановимся на анализе исследованных эффектов, основной из которых – отклонение траектории луча от прямолинейной при прохождении слоя движущейся среды. По порядку величины модуль угла отклонения определяется выражением:

(4.1)

В работе [5] приведены некоторые оценки скоростей движения среды, при которых динамооптические и гиромагнитные эффекты пренебрежимо малы по отношению к релятивистским. Для воды критическая скорость может составлять несколько сантиметров в секунду, для стекла – нескольких метров. Угол отклонения траектории луча для воды составляет , для стекла – . При достаточном удалении точки наблюдения от области неоднородности сдвиги лучей могут быть существенными.

Таким образом, учет неоднородности скорости движения среды приводит к широкому кругу релятивистских эффектов первого порядка. Также стоит заметить, что представляется необходимым постановка опытов в этой области с целью экспериментального подтверждения электродинамики движущихся сред, а также с целью разработки недоплеровского метода анализа подводных течений [4].

За оказанную помощь и проведение тематических семинаров авторы благодарны Розанову Н.Н. и Сочилину Г.Б. Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 05-02-16342).


Список литературы

  1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.

  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Э.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 2001. 661 с.

  3. Вуд Р. Физическая оптика. М.: ОНТИ, 1936.

  4. Розанов Н.Н., Сочилин Г.Б. // УФН. 2006, т. 176, № 4, с. 421-439.

  5. Розанов Н.Н., Сочилин Г.Б. // Оптика и спектроскопия. 2003, т. 94, № 4, с. 624.

  6. Ландау Л.Д., Лившиц Э.М. Теория поля. М.: Наука, 1988.

  7. Ал.С. Киселев, Ан.С. Киселев, Н.Н. Розанов, Г.Б. Сочилин // Оптика и спектроскопия. 2006, т. 101, №1, сс. 124-136.

  8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 719 с.

  9. Киселев Ал.С., Киселев Ан.С., Розанов Н.Н., Сочилин Г.Б. Изв. РАН. Сер.физ. 2005, т. 69, № 8, с. 1135-1138.

  10. Межерис Р. Лазерное дистанционное зондирование. М.: Мир, 1987, 550 с.