uzluga.ru
добавить свой файл
Летняя школа

«Интеллектуал-Авангард 2008»

Занятие 5 (группа 1). Стереометрия и системы координат

Стереометрия

  1. На сколько частей делят пространство продолжения граней куба?

  2. Какие многоугольники могут получиться при сечении куба плоскостью? Какие из них могут быть правильными?

  3. Н
    айдите все точки, удалённые от единичного куба на расстояние, равное ½. Вычислите объём, ограниченный найденной поверхностью.

  4. Точка K лежит посередине ребра BC единичного куба, а точка L делит ребро AA в отношении 4:1. Найдите кратчайший путь между этими точками.

  5. Конус, в осевом сечении которого равносторонний треугольник, катается по плоскости. Сколько оборотов он сделает вокруг своей оси за один полный оборот по плоскости?

  6. (Сложная) Дан прямой круговой конус, в осевом сечении которого равнобедренный треугольник с углом при вершине 2. Из всех треугольников, две вершины которых лежат на основании конуса, а третья – в вершине конуса, найдите треугольник наибольшей площади. Определите эту площадь.

Системы координат

  1. Что представляет собой кривая, заданная в цилиндрических координатах следующим образом:



  1. Что представляет собой кривая, заданная в сферических координатах следующим образом:



  1. Как задать плоскость, перпендикулярную вертикальной оси и не проходящую через начало координат, в цилиндрических координатах?

  2. Как задать плоскость, перпендикулярную вертикальной оси и не проходящую через начало координат, в сферических координатах?

  3. Что представляют из себя координатные поверхности и координатные линии цилиндрической и сферической систем координат?

  4. Что представляет собой кривая, заданная в сферических координатах следующим образом:



  1. (Сложная) Как задать цилиндр (бесконечный, без крышек) в сферических координатах?

Летняя школа

«Интеллектуал-Авангард 2008»

Задачи для самостоятельного решения

  1. На сколько частей делят пространство продолжения граней тетраэдра?

  2. Как задать сферу в цилиндрических координатах?

  3. Как задать плоскость, не перпендикулярную вертикальной оси и не проходящую через начало координат, в сферических координатах?

  4. (Исследование) Дан цилиндр с высотой H и радиусом R. Точки K и L лежат на рёбрах его оснований так, что прямая, соединяющая их, проходит через центр цилиндра. Найдите кратчайший путь между этими точками по поверхности цилиндра и исследуйте его в зависимости от отношения между R и H.