uzluga.ru
добавить свой файл




ЛЕКЦИЯ 6

Содержание

  1. Ядерные реакции. Введение.

  2. Законы сохранения в ядерных реакциях.

  3. Кинематика ядерных реакций. Порог.

  4. Механизмы ядерных реакций. Составное ядро.

  5. Сечение образования составного ядра нейтроном в нерезонансной области.

  6. Формула Брейта-Вигнера.

  7. Прямые ядерные реакции.


1. Ядерные реакции. Введение.

Любой процесс столкновения элементарной частицы с ядром или ядра с ядром будем называть ядерной реакцией. Наряду с радиоактивным распадом ядерные реакции - основной источник сведений об атомных ядрах.

Для записи ядерной реакции есть несколько способов. Два наиболее употребительных поясняются следующими примерами


a + A b + B или A(a, b)B,

p + + или (p, 2), где

p + n + или (p, n),

+ + p + n или (, pn).

Обычно более легкая частица называется - снарядом, более тяжелая -мишенью.

При столкновении протона с могут быть различные процессы (каналы реакции):





p + 7Li

- упругое рассеяние (упругий канал)




p + 7Li*

- неупругое рассеяние




p +

+










+ +




неупругие каналы



p + + t, где t







и т. д.







Здесь 7Li* означает возбужденное состояние ядра 7Li.

При упругом рассеянии налетающая частица и мишень не претерпевают каких-либо внутренних изменений и не появляется новых частиц.

Первая ядерная реакция осуществлена в 1919 г. Резерфордом

+ + p.

Для количественного описания вероятности ядерной реакции используется эффективное сечение - дифференциальное (d/d) и полное ( ). В случае двух частиц в начальном и конечном состояниях реакция полностью характеризуется d/d. Величина эффективного сечения зависит от квантовых состояний сталкивающихся частиц (энергий, спинов, орбитальных и полных моментов, четностей, изоспинов).

Ядерные реакции рассматривают обычно либо в лабораторной системе координат (ЛСК), либо в системе центра инерции (СЦИ). ЛСК - система, в которой мишень покоится.


2. Законы сохранения в ядерных реакциях

Ряд физических величин одинаков до и после столкновения, т.е.

сохраняется. Имеют место следующие законы сохранения:

1.

Энергии

E

2.

Импульса




3.

Момента количества движения




4.

Электрического заряда

Q

5.

Четности (за исключением слабого взаимодействия)

P

6.

Изоспина (только в сильном взаимодействии)

I

7.

Числа нуклонов (до порога рождения пары нуклон-антинуклон)




8.

Барионного заряда (сохранение числа нуклонов следствие этого закона)

B

9.

Лептонного заряда

L




и др.




Выделены абсолютные или универсальные законы сохранения. Их нарушение никогда не наблюдалось.

Пример. Найти конечное ядро x в реакции + + x.

Из законов сохранения электрического заряда и числа нуклонов получаем - .

Пример на выполнение закона сохранения четности в сильных взаимодействиях: реакция 19F(p, )16O, идущая через возбужденное 1+ состояние промежуточного ядра 20Ne (рис. 6.1).



Рис. 6.1

Эта реакция идет за счет сильного взаимодействия с заселением 2-го возбужденного состояния ядра 16O, имеющего энергию 6.13 МэВ. Основное и 1-ое возбужденное состояния не заселяются. Почему?

Реакция проходит в две стадии:

p + *(1+) + (3-).

Из закона сохранения углового момента для 2-й стадии

Ne = O + + O,,

где = , O =, Ne=.

Для орбитального момента относительного движения ядра 16O и -частицы имеем

= + O, и, опуская индексы, L=2, 3, 4.

С другой стороны, из закона сохранения четности имеем

(-1)L (6.1)

или +1 = (+1)(-1)(-1)L.

Откуда остается лишь L=3.

Переход в основное и первое возбужденное состояние 16O невозможен, т.к. в этих случаях

и L=1.

Но тогда не выполняется закон сохранения четности (6.1)

+ 1 (+1) (+1) (-1)L=1 = -1.

Опытным путем установлено, что в рассматриваемой реакции отношение вероятностей переходов 1+0+ и 1+3- меньше 310-13, что является хорошим подтверждением справедливости закона сохранения четности в сильных взаимодействиях.


3. Кинематика ядерных реакций. Порог.

Рассмотрим реакцию

A + B C + D + ... (6.2)

Запишем закон сохранения энергии через массы и кинетические энергии T

(TA + TB) + (mA + mB)c2 = (TC + TD + ...) + (mC +mD + ...)c2.

Определим энергию реакции Q:

Q = (mA + mB)c2 - (mC + mD + ...)c2. (6.3)

И закон сохранения энергии запишем в виде

(TA + TB) = (TC + TD + ...) - Q. (6.4)

При Q>0 (выделение энергии) реакция идет при любом значении TA+TB, в том числе и нулевом (т.к. правая часть вышенаписанного соотношения может быть =0).

При Q<0 (поглощение энергии) реакция идет не всегда. Т. к. -Q>0, то для этого нужно TA+TB -Q =|Q|, т.е. чтобы TA+TB превышала разницу в массах конечных и начальных ядер. Таким образом, реакция обладает порогом, при котором начинает выполняться закон сохранения энергии.

Определение порога реакции Eпор: это минимальная суммарная кинетическая энергия сталкивающихся частиц (ядер), при которой реакция, идущая с поглощением энергии, становится возможной.

Оказывается

Eпор = (TA+TB)min =

- СЦИ

(6.5)

- ЛСК

Ниже покажем, что пороговые значения энергии в СЦИ и ЛСК равны величинам, приведенным в правой части выражения (6.5). Eпор зависит от системы координат. Она минимальна в СЦИ, где равна -Q=|Q|. Действительно, пороговая энергия минимальна когда (TC + TD + ...) =0, т.е. когда TC=TD= ... =0. При этом pC=pD= ... =0, т.е. (C + D + ...)=0, что отвечает определению СЦИ. В СЦИ центр инерции покоится и в частном случае может покоиться каждый из конечных продуктов. В остальных системах центр инерции движется и уже за счет этого TC+TD + ...0, т.е. часть кинетической энергии идет на бесполезную для реакции энергию движения центра инерции. При этом порог возрастает. Порогу в СЦИ отвечает рис.6.2.

Порог в СЦИ



Рис. 6.2

Теперь перейдем в систему координат, где B покоится, т.е. в ЛСК. Ситуация, которая отвечает порогу в этой системе, где скорость центра инерции vци (для простоты рассматриваем нерелятивистский случай), изображена на рис. 6.3.


Порог в ЛСК (TB=0)



Рис. 6.3

Итак, в ЛСК Eпор равно такому TA, при котором продукты имеют нулевую относительную энергию (скорость), т.е. двигаются неразделенными. Ещё раз отметим, что под ЛСК мы понимаем такую систему координат, в которой до взаимодействия объект B покоился (мишень), а объект A двигался (снаряд).

Найдем, используя релятивистские формулы, Eпор в ЛСК. В ЛСК

Eпор = (TA)min = (TA)пор. (6.6)

Воспользуемся инвариантом I квадрата массы M системы частиц

M2c4. (6.7)

Запишем законы сохранения энергии и импульса в ЛСК и СЦИ и используем вышенаписанный инвариант:


ЛСК








СЦИ



Порогу в СЦИ отвечает рождение C, D, ... с нулевыми кинетическими энергиями, т.е.


; ; ...

.

Инвариант массы в ЛСК:



.

Отвечающий порогу инвариант массы в СЦИ:

()2 - ()2c2 = (mC + mD + ...)2c4.

Приравниваем инварианты массы в ЛСК и СЦИ и это отвечает

TA = (TA)пор.

Имеем

(2TA)порmBc2 + (mA + mB)2c4 = (mC + mD +...)2c4.

Откуда

(TA)пор .

Пусть (mC+mD+...)2c4=b2, а (mA+mB)2c4=a2, тогда имеем (т.к. b-a=-Q=|Q|)

b2 - a2 = (b-a)(b+a) = |Q|(b + a + a - a) = |Q|(2a + |Q|)

Итак,

(TA)пор , (6.8)

причем два последних слагаемых в скобках - это доля кинетической энергии TA, идущая на движение центра инерции.

В ядерной физике обычно |Q|<<2mBc2 и

(TA)пор . (6.9)

При сохранении числа нуклонов |Q| - это разность энергий связи начальных и конечных продуктов.

Найдем (TA)пор в ЛСК в нерелятивистском приближении. В СЦИ из условия пор = (A + B)min = -Q = |Q| имеем




Отсюда легко найти

; .

Переходя из СЦИ в ЛСК мы должны остановить частицу B, которая в СЦИ движется справа налево (рис.6.4). Это делается добавлением направленной вправо скорости B каждой из двух частиц (A и B). Итак, ЛСК движется относительно СЦИ вправо со скоростью B. Продукты C, D,... движутся в ЛСК в неразделенном виде со скоростью B. Их кинетическая энергия бесполезна для реакции.

Рис. 6.4

(TA)пор

. (6.10)

В нерелятивистском приближении доля кинетической энергии, идущая на движение центра инерции, равна . Добавка в формуле (6.8) связана с использованием релятивистских выраже-ний, т.е. существенна при высоких энергиях.

Пример. Найдем порог реакции +pp++p в нерелятивистском и релятивистском приближении ( - антипротон).

(T)пор = |Q| = 2mpc2 =1877 МэВ. нерелят.

(T)пор = 2mpc2 = 3754 МэВ. релят.

Т.е. релятивистская “поправка” удваивает порог.


4. Механизмы ядерных реакций. Составное ядро.

Будем классифицировать реакции по времени протекания.



Рис. 6.5

В качестве временного масштаба удобно использовать ядерное время - время пролета частицы через ядро


я = . (6.11)

Очевидно, я - минимальное время протекания ядерной реакции (я10-22 сек для нуклона с TN=25 МэВ и ядра с A= 25, а также для нуклона c TN=100 МэВ и ядра с A=200).

Будем использовать следующую классификацию ядерных реакций по времени протекания:

1. Если время реакции tp я, то это прямая реакция (время реакции минимально).

2. Если tp >> я, то реакция идет через составное ядро.

В первом случае (прямая реакция) частица “a” передает энергию одному или нескольким нуклонам и они сразу покидают ядро, не успев обменяться энергией с остальными нуклонами.

Во втором случае (составное ядро) частица “a” и нуклон, которому она передала энергию, “запутываются” в ядре. Энергия делится среди многих нуклонов и у каждого нуклона она недостаточна для вылета. Лишь через большое время в результате случайных перераспределений она в достаточном количестве концентрируется на одном из нуклонов (или объекте из нескольких связанных нуклонов) и он покидает ядро. Это механизм составного ядра Бора (1936 г.). Составное ядро и прямой механизм - полярны. Много реакций промежуточного типа.

Если реализуется механизм составного ядра, то реакция идет в 2 этапа

a + A C* B + b. (6.12)

1 - образование составного ядра C, 2 - его распад.

В модели составного ядра длина свободного пробега частицы “a” в ядре aя и эта частица захватывается ядром. Энергия возбуждения последнего E*Ta+Ba (в пренебрежении отдачей), где Ba - энергия отделения частицы “a” из ядра С.

Появление Ba в выражении E*Ta+Ba можно объяснить так: рассмотрим обратный процесс вырывания из ядра захваченной им частицы “a”. Нужно, как минимум, затратить энергию отделения Ba. Если энергия больше, то она идет на кинетическую энергию Ta.

В ядре C энергия возбуждения E* делится среди A нуклонов и в среднем на один нуклон приходится энергия n,p. Лишь через t>>я возможна концентрация достаточной энергии на одном из нуклонов и его вылет. Составное ядро живет долго и “забывает” способ своего образования. Поэтому сечение реакции через составное ядро можно записать в виде


ab = a+AB+b = aCWb, (6.13)

где - сечение образования составного ядра (полное сечение реакции через составное ядро, вызванное частицей ”a”), а Wb - вероятность его распада по каналу b. Очевидно, .

Испускание нуклонов составным ядром напоминает испарение молекул из нагретой капли. Угловое распределение в СЦИ изотропно. Концепция составного ядра применима к средним и тяжелым ядрам и E* не более нескольких десятков МэВ. При более высоких энергиях N>Rя и вероятность захвата нуклона ядром <1.

Далее мы познакомимся с тем, как выглядит сечение образования составного ядра в двух крайних случаях:

1. Когда уровни составного ядра сильно перекрываются и образуют непрерывный спектр без особенностей;

2. Когда уровни составного ядра принадлежат дискретному спектру и могут считаться изолированными (т.е. ширины этих уровней меньше среднего расстояния между ними ).

В качестве примера процесса 1-го типа рассмотим образование составного ядра нейтроном.


5. Сечение образования составного ядра нейтроном в

нерезонансной области

Получим выражение для сечения образования составного ядра. Будем предполагать, что сечение не зависит от квантовых чисел налетающей частицы и квантовых чисел составного ядра, и что уровни составного ядра образуют непрерывный спектр. Пусть падающая частица является нейтральной и не нужно учитывать кулоновское взаимодействие (например, случай образования составного ядра в реакциях с нейтроном). Вероятность образования составного ядра нейтроном определяется произведением вероятностей трех последовательных процессов:

1. Попадания нейтрона в область действия ядерных сил (эффективное сечение этого процесса обозначим );

2. Проникновения нейтрона внутрь ядра (вероятность этого процесса P);

3. Захвата ядром нейтрона (вероятность ).

Ядерные силы короткодействующие, поэтому можно считать, что они отличны от нуля только внутри ядра. Следовательно, сечение процесса, состоящего в том, что частица попадает в область действия ядерных сил, определяется выражением


0 (R + )2,

где R - радиус ядра, - длина волны де Бройля для нейтрона. Зависимость потенциала, в котором движется налетающая частица, от расстояния между ней и центром ядра приведена рис.6.6.




Рис. 6.6

При r=R происходит резкий скачок потенциала, связанный с тем, что в области r

моментом L=0 приводит к следующему результату

, (6.15)

где , .

В модели составного ядра считается, что частица, попав в ядро, с вероятностью =1 остается в нем (как уже отмечалось это имеет место для средних и тяжелых ядер и энергий нейтронов вплоть до нескольких десятков МэВ).

Таким образом сечение образования составного ядра нейтральной частицей (нейтроном) определяется выражением

= 0P (R +)2. (6.16)

При высоких энергиях <0. Поэтому 1 и

получаем в качестве результата геометрическое сечение ядра

nC R2. (6.17)

6. Формула Брейта-Вигнера

Рассмотрим сечение образования составного ядра в районе изолированных уровней, т.е. когда ширины уровней меньше расстояний E между ними. Изолированные уровни составного ядра отчетливо проявляются при рассеянии медленных нейтронов ядрами (рис.6.7). На этом рисунке показано сечение взаимо-действия нейтронов малых энергий (сотни эВ) с ядром 238U. То, что наблюдаемые резонансы - уровни составного ядра, следует из их ширины.



Рис. 6.7

Ширины показанных на рис.6.7 уровней (резонансов) после внесения поправок на аппаратную форму линии и допплеровское уширение оказываются 1 эВ. Это означает, что время жизни таких уровней сек, что по крайней мере на 4 порядка превышает время пролета нейтрона с энергиями сотни эВ через ядро урана (это время 10-19 - 10-20 сек).

Экспериментальные данные показывают, что среднее расстояние между уровнями быстро уменьшается с ростом массового числа A и энергии возбуждения ядра. Это объясняется возрастанием числа различных способов распределения энергии между нуклонами. Все это приводит к тому, что с увеличением энергии нейтронов уровни начинают перекрываться.

Для тяжелых ядер это происходит уже для нейтронов с энергией Tn несколько кэВ. Энергия возбуждения составного ядра E* при этом близка к энергии отделения нейтрона из этого ядра Bn, равной нескольким МэВ (E*Bn+Tn для медленных нейтронов). Для высоких энергий возбуждения (15-20 МэВ) плотность уровней столь велика, что они, сильно перекрываясь, образуют непрерывный спектр. В этом случае процесс образования составного ядра имеет нерезонансный характер и к нему может быть применен подход, описанный в предыдущем разделе.

Итак, пусть у составного ядра C имеется набор изолированных уровней с энергиями пронумерованными в порядке их возрастания Er=E1, E2,... . При совпадении энергии возбуждения этого ядра с энергией одного из уровней (E*=Er) сечение образования составного ядра (a+AC*) и сечение реакции (a+AC*b+B) имеет максимум. Форма сечения в районе изолированного уровня совпадает с формой резонанса в механике, оптике и электричестве, т.е. с формой лоренцовой линии. В ядерной физике говорят о брейт-вигнеровской зависимости сечения от энергии. Формула Брейта-Вигнера имеет вид

ab=, (6.18)

где - де бройлевская длина волны падающей частицы.

Для реакции рассеяния нейтронов в районе изолированного уровня получаем

. (6.19)

В этих формулах - полная вероятность распада составного ядра в единицу времени; , , - вероятности распада составного ядра в единицу времени с вылетом частиц a,b и нейтрона.

= a + b + ... = . (6.20)

Из формулы Брейта-Вигнера можно получить сечение образования составного ядра aC в области изолированного уровня


ab = aCWb =aC = . (6.21)

Откуда

. (6.22)



Рис. 6.8

В заключение этого раздела рассмотрим область энергий составного ядра ниже самого первого резонанса (E*1). В этой области (рис.6.8) сечение образования составного ядра нейтроном не имеет особенностей и можно воспользоваться формулой (6.16). Рассматриваемая область это область близких к нулю кинетических энергий нейтронов. Поэтому, полагая и , получаем

(R+)2 2 = , (6.23)

где v - скорость падающего нейтрона (k= v).


7. Прямые ядерные реакции

Прямые реакции протекают без образования составного ядра за времена, равные характерному ядерному времени сек (времени пролета падающей частицы через ядро). В прямых реакциях налетающая частица передает свою энергию одному или нескольким нуклонам ядра-мишени, которые затем сразу вылетают из ядра, не успев обменяться энергией с остальными нуклонами ядра. Прямые процессы идут на всех ядрах при любых энергиях налетающих частиц. Они вносят особенно большой вклад в сечение ядерных процессов при больших энергиях, однако заметную роль могут играть и при малых энергиях.

Одним из примеров реакций такого типа являются реакции однонуклонной передачи (рис.6.9), в которых налетающая частица и ядро-мишень обмениваются одним нуклоном. Ограничимся качественным рассмотрением реакции (d,p) и обратной ей реакции (p,d). Первая из этих реакций носит название реакции срыва, вторая - подхвата. Эти реакции обычно идут на поверхности ядра. Так в реакции (d,p) дейтрон одним из своих нуклонов “задевает” ядро, вследствие чего дейтрон распадается. При этом один из нуклонов дейтрона захватывается (срывается) ядром, а другой движется в направлении своего первоначального импульса, не взаимодействуя с ядром.





Рис. 6.9

Реакцию срыва удобно использовать для изучения тех состояний (уровней) конечного ядра A+1, которые связаны с изменением положения отдельного нуклона (такие состояния называют одночастичными). При срыве захваченный ядром нуклон (на рисунке это нейтрон) занимает один из свободных энергетических уровней (он на рисунке условно показан пунктиром), причем с большой вероятностью остальная часть ядра - остов - не возбуждается. Другой нуклон распавшегося дейтрона (протон) несет информацию об этом уровне - его энергии, четности, моменте количества движения захваченного нейтрона на этом уровне.

Реакция подхвата (p,d) обратна реакции срыва (d,p) и протекает аналогично. Она также удобна для изучения состояний занимаемых отдельными нуклонами ядра. Подхваченный налетающим протоном нейтрон оставляет вакансию (дырку) на том уровне, который он занимал, а образовавшийся дейтрон несет информацию об этом уровне. Остальные нуклоны ядра с большой вероятностью остаются в прежних состояниях.

К прямым ядерным реакциям относятся также реакции (p,2p), (e,ep), (e,en) при больших энергиях налетающих частиц (десятки - сотни МэВ). В таких реакциях одному из нуклонов ядра сообщается большая кинетическая энергия и он покидает ядро, практически не обмениваясь ею с другими нуклонами. Регистрируя конечные продукты реакции, например, 2 протона или электрон и нуклон, можно получить информацию о том энергетическом уровне, который занимал вылетевший нуклон в ядре до реакции.

В прямых реакциях рассмотренного типа были получены важные результаты, свидетельствующие о том, что нуклоны в ядрах находятся в устойчивых квантовых состояниях с определенными значениями энергии связи (отделения), орбитального и полного момента, а также четности. Эти состояния группируются по энергии, образуя нуклонные оболочки, аналогичные электронным оболочкам в атомах.