uzluga.ru
добавить свой файл
Лекция №8

8.1 Основные гипотезы. Расчетная модель стержня.

8.2 Вывод формул для нормальных напряжений в поперечных сечениях


8.3 Связь между изгибающим моментом и кривизной элемента стержня.


8.4 Чистый плоский изгиб, нормальные напряжения.


8.1 Основные гипотезы. Расчетная модель стержня.

Рассмотрим задачу определения нормальных напряжений в произвольной точке К поперечного сечения прямого стержня в общем случае его нагружения (рис. 8.1). Наряду с напряжениена площадках параллельных оси стержня развиваются напряжения . Однако опыт показывает, что на основной части длины стержня эти напряжения, как правило, бывают значительно меньше напряжений . Поэтому в расчетной модели стержня пренебрегаем влиянием напряжений на деформацию элемента, т.е. в формуле обобщенного закона Гука для получаем:









(8.1)




Рис. 8.1 Напряжения малы по сравнению с



Рис. 8.2 Иллюстрация к гипотезе плоских сечений

Допущение (8.1) называют гипотезой о ненадавливании продольных волокон:

волокна стержня, параллельные его оси, испытывают деформацию растяжения – сжатия в продольном направлении и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении.

Вторая важнейшая гипотеза о характере деформирования модели стержня это гипотеза плоских сечений (рис. 8.2):

поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными искривленной оси балки после деформации.

Это положение позволяет рассматривать поперечное сечение стержня как бесконечно тонкое плоское тело (жесткая пластика), имеющее в отношении перемещений конечное число степеней свободы. На рис.8.3, а-в показаны три характерных перемещения сечения (с координатой x): продольное поступательное перемещение и два поворота на углы .



Рис. 8.3 Три независимых перемещения плоского сечения и перемещение точки К от поворота на угол

На рис. 8.3, г показана проекция сечения, повернутого на угол при взгляде на сечение вдоль оси z. Произвольная точка К, имеющая координату y >0, получит отрицательное перемещение (), так как это перемещение противоположно оси x. Суммарное перемещение произвольной точки К определится по формуле:



(8.2)

Формула (8.2) есть математическое выражение гипотезы плоских сечений. На рис. 8.4, а представлена модель стержня, иллюстрирующая гипотезу ненадавливания продольных волокон и гипотезу плоских сечений.



Рис. 8.4 Модель стержня

Модель представляет набор жестких пластинок – «поперечных сечений», пространство между которыми заполнено «продольными волокнами», условно изображенными в виде упругих пружин. Деформация растяжения – сжатия продольных волокон происходит за счет относительного перемещения и поворота соседних сечений (рис 8.4, б ).





8.2 Вывод формул для нормальных напряжений в поперечных сечениях


Пусть в рассматриваемом сечении известны усилия:. Выразим через них напряжения . С учетом формул (8.1), (8.2), (2.12) получим:



(8.3)

Обозначим для данного сечения постоянные:

;

;

.

(8.4)

Перепишем (8.3) с учетом обозначений (8.4)



(8.5)

Формула (8.5) показывает, что изменяется по закону плоскости, определяемой тремя константами: . Для определения констант необходимо потребовать, чтобы приводились к трем силовым факторам (см. формулы 1.2)







(8.6)

Формулы (8.6) следуют из рис. 8.4



Рис. 8.4 Напряжения в поперечном сечении распределены по линейному закону

Подставляем последовательно выражение для напряжений(8.5) в формулы (8.6) . В результате получим:











(8.7)

С учетом выражений для геометрических характеристик поперечных сечений получим:

;

;

.


(8.8)

В уравнениях (8.8) введены следующие обозначения:

площадь и статические моменты площади относительно осей z и y

A=;

;

;

(8.9)

осевые и центробежный моменты инерции

;

;

.

(8.10)

Будем считать, что оси z,y главные центральные оси, тогда

.

(8.11)

В результате система (8.8) распадается на три независимых уравнения, из которых находим:







(8.12)

Подстановка выражений (8.12) в формулу (8.5) дает общую формулу для нормальных напряжений

y+z

(8.13)

Плоскости z-x, y-x, содержащие ось стержня и одну из главных осей сечения, называются главными плоскостями изгиба стержня.

В формуле (8.13) растягивающая продольная сила N положительна, изгибающие моменты также положительны, если они в точке, принадлежащей первой четверти осей координат (где z>0,y>0), вызывают растягивающие напряжения (см.рис.8.4).


8.3 Связь между изгибающим моментом и кривизной элемента стержня.


Подставим значения констант (8.12) в формулы (8.4), в результате получим:

;

;

.

(8.14)

Соотношения (8.14) используются для определения перемещений сечений стержня при растяжении - сжатии и изгибе (EA-жесткость при растяжении-сжатии; , -жесткости сечения при изгибе).

Рассмотрим рис. 8.5. Учитывая, что получим:









(8.15)

Здесь - кривизны элемента стержня.



Рис. 8.5 К определению связи кривизны элемента и изгибающего момента

Запишем соотношение между радиусом кривизны и относительным удлинением произвольного продольного волокна балки с координатой y.









(8.16)



8.4 Чистый плоский изгиб, нормальные напряжения.


Пусть во всех поперечных сечениях стержня N=0; My=0; и стержень изгибается в главной плоскости yx. Изгиб в этой плоскости называется плоским изгибом.

Пусть на участке стержня . Такой случай нагружения стержня называется чистым плоским изгибом (ЧПИ). В соответствии с формулой (8.13) получим

y

(8.17)




Рис. 8.6 Изгиб в главной плоскости xy. Сечение поворачивается вокруг нейтральной линии

По высоте сечения имеем две зоны – растяжения и сжатия, их разделяет нейтральный слой, продольные волокна которого искривляются, но не меняют свой длины. Линия пересечения нейтрального слоя и плоскости поперечного сечения (n-n) называется нейтральной линией (совпадает с осью z).



Рис. 8.7 За счет действия поперечных сил сечения искривляются. При чистом изгибе сечения остаются плоскими.