uzluga.ru
добавить свой файл
Заочный тур школьной олимпиады по математике

2010-2011 учебный год

Выполните задания, оформите решения и сдайте работу
в кабинет 215 (Литвиной Марине Николаевне )до 21 сентября.


  1. класс



  1. Что больше 150,15 или 1,5?



  1. В 1748 году великий российский математик Леонард Эйлер опубликовал одно из своих важнейших произведений – «Введение в анализ бесконечных». В этом труде, в частности, Эйлер находит значения двух бесконечных сумм 1 + + + … и 1 + + … (слагаемыми в первой сумме являются числа, обратные квадратам чисел натурального ряда, а во второй – обратные квадратам нечетных чисел натурального ряда). Значение первой суммы, как показал Эйлер, равно . Учитывая этот результат, найдите значение второй суммы.



  1. Укажите момент времени, когда впервые после полуночи, угол между минутной и часовой стрелкой будет равным 10 , при том, что минутная стрелка показывает целое число минут.



  1. Диагонали выпуклого четырехугольника АВСD равны между собой и пересекаются в точке М. На АВ и СD взяты соответственно точки К и L так, что = Прямые АL и КD пересекаются в точке Р. Доказать, что МР – биссектриса угла АМD.



  1. Вычислите число (после запятой следует 100 четверок) с точностью до 10-100.



9 класс

1.Решить уравнение:

2.Автобусных маршрутов в городе не менее двух и они таковы, что: 1)у любых двух маршрутов имеется ровно одна общая остановка; 2)на каждом из маршрутов не менее трех остановок; 3)с каждой остановки по одному из маршрутов можно доехать до любой другой остановки без пересадок. Приведите пример маршрутной сети, удовлетворяющей этим условиям.

3.В трапеции АВСД (ВСАД) проведена прямая, параллельная АД и пересекающая боковые стороны трапеции АВ и СД в точках Е и К. Доказать, что площади треугольников ВДЕ и АСК равны.

4.Даны различные натуральные числа х и у. Найдите три различных натуральных числа а, в и с, удовлетворяющие уравнению: с3=ха + ув.

5.Среди 8 одинаковых шариков одного и того же радиуса имеется один, отличающийся от остальных по весу. Найти его не более чем тремя взвешиваниями на чашечных весах (без гирь)

7 класс

1.Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки в «Страну дураков» - две взрослых и одну детскую – за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка дешевле взрослой на 500 золотых монет. Каким образом Карабас сумел понять, что его обманывают?


2.В некотором трехзначном числе поменяли местами две последние цифры и сложили полученное число с исходным. Получилось четырехзначное число, начинающееся на 195. Какой могла быть последняя цифра исходного числа?


3.Площадка для детских игр прямоугольной формы должна удовлетворять таким требованиям: длины сторон должны выражаться целыми числами метров, а площадь численно равна периметру. Какой длины и ширины может быть такая площадка?


4.Покрасьте шесть клеток таблицы размером 6 х 6 в черный цвет так, чтобы из нее нельзя было вырезать ни белой полоски размером 1 х 6, ни белого квадрата размером 3 х 3.


5.Расшифруй кроссворд (одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами)

О Д И Н

+

О Д И Н

________________

И Д В А

Запиши не менее трех способов.


8 класс


8.1. Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, который равен углу, смежному с углом ABC. Найдите градусную меру угла ABC.


8.2. Среди уравнений, приведенных в пунктах а) - е), укажите уравнения, задающие параллельные прямые: а) y = 3x−5; б) 2y = x+6; в) y = −0,7x;

г) y =; д) y =; е) y =.


8.3. Вычислите сумму: 1 + 4 + 7 +: : : + 97 + 100.


8.4. Постройте график функции y =


8.5. К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.


11 класс


11.1. Решите уравнение X4 – X3 – 10X2 + 2X + 4 = 0


11.2. Найдите сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + … n·n!


11.3. Для любы двух положительных чисел определена операция * про которую известно, что

1) 1*а = а для всех а>0,

2) а*а = 1 для всех а>0

3) (а*b) · (с*d) = (a·c) * (b·d) для всех положительных a,b,c,d.

Чему равно 243*27?


11.4. В треугольнике ABC углы при вершинах B и С равны 40 ̊. BD – биссектриса угла В. Докажите, что BD + DA = BC.


11.5. Мать собрала своих дочерей и сказала: «Каждая из вас может истратить на подарки по 20 долларов. Разделите свои деньги на 3 разные части так, чтобы в любой из них было целое число долларов. На подарки для дяди А расходуйте наименьшую долю денег. На подарки для отца тратьте среднюю из частей. А самые дорогие подарки покупайте для тёти М. Вы должны разделить деньги каждая по-разному». Известно, что девушки израсходовали на подарки тёте М 52 доллара. Даша потратила на подарок для дяди А меньше всех – 3 доллара. Сколько денег израсходовали девушки на подарки для отца?


Задание для учащихся 5 класса

  1. (3 балла) Какой цифрой оканчивается произведение чисел 21∙23∙25∙27∙…∙199∙201?

  2. (4 балла) Внуку столько месяцев, сколько дедушке лет. Вместе им 78 лет. Сколько лет внуку и сколько лет внуку и сколько лет дедушке?

  3. (4 балла) на складе 5 бочек, полных краски, 11 полупустых бочек и 8 пустых бочек. Как распределить бочки между тремя заводами, чтобы каждый завод получил поровну и краски, и бочек?

  4. (4 балла) Нарисуйте 8 одинаковых квадратов так, чтобы ровно16 точек были вершинами этих квадратов?

  5. (5 баллов) В ящике находятся 18 белых и 12 черных шаров. Какое минимальное число шаров надо вынуть из ящика наугад, чтобы среди них обязательно оказалось не менее трех шаров одного цвета?