uzluga.ru
добавить свой файл
Введение.

Тема «Комплексные числа» не изучается в общеобразовательном школьном курсе математики. Но очень часто из-за полного отсутствия информации о существовании таких чисел у любознательного учащегося возникают серьёзные проблемы при решении кубических уравнений, которые должны иметь три корня, так как после разложения многочлена на линейные множители возникает необходимость решения квадратного уравнения. И вдруг оказывается, что дискриминант отрицателен, то есть квадратное уравнение корней не имеет. А это значит, что кубическое уравнение вместо трех имеет только один корень.

Проще говоря, необходимо извлечь арифметический квадратный корень из отрицательного числа. Такая операция невозможна в множестве действительных чисел, но не невозможна вообще.

В процессе работы будет необходимо:

  • познакомиться с понятием комплексного числа;

  • создать программу ознакомления с материалом, включающую в себя элементы тестирования;

  • провести тестирование;

  • изучить полученные результаты тестирования и сделать выводы о качестве созданного математического пособия;

  • выявить перспективу на будущее.



1. Немного истории.

Мнимые числа – это прекрасное и чудесное

убежище божественного

духа, почти что амфибия

бытия с небытиём.

( Г. Лейбниц)

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие ученые считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до н. э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э., а древнегреческий математик Диофант в III веке н. э. уже умел производить действия над отрицательными числами. В ХIII веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в ХVI веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись с этой проблемой. Поэтому итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 году в своем труде «Великое искусство», или «Об алгебраических правилах» предложил ввести числа новой природы. Он назвал эти величины «чисто отрицательными», или «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако уже в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название «мнимые числа» в 1637 году было введено французским математиком и философом Р. Декартом. А в 1777 году один из крупнейших алгебраистов ХVIII века — Л. Эйлер — предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа i =-1. Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К. Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже ХУII- XVIII веков была построена общая теория корней п-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, а полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах К. Вессель и Ж. Арган.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранаж смог сказать, что математический анализ Уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Также с помощью «мнимых» величин были решены прикладные задачи, связанные с картографией и гидродинамикой.

2. Понятие комплексного числа.

2.1. Алгебраическая форма z=a+b·i, b €R, i2= - 1

a = Re z – действительная часть числа (вещественная);

b = i m – мнимая часть числа z.

Если a ≠ 0, b≠ 0, то z - мнимое число (z = 97-7 · i).

Если a = 0, b ≠ 0, то z - чисто мнимое число (z=55 · i).

Если a≠0, b=0,то z - действительное число (z=-4).

Степени числа i:

i1 = i=> i4п+1 = i

i2= -1=> i4п+2= -1

i3= i2· i=- i=> i4п+3=- i

i4=( i2)2=1 => i4п=1

1) z=a+b·i и z=a-b·I сопряженные;

сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами (z+ =2а, z· 2+ b2);

2) z=a+b·i и -z=-a-b·I - противоположные

Сумма двух противоположных чисел равна 0(z+(- z)=0).

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i2=-1

1) Условие равенства комплексных чисел z1=a1+b1·i и z2=a2+b2·i

z1= z2 , если a1 = a2 и b1 = b2

2) Сумма комплексных чисел z1=a1+b1·i и z2=a2+b2·i равна:

z1+ z2=(a1+a2)+(b1+b2)·i

3) Разность комплексных чисел равна:

z1 - z2= (a1 - a2) + (b1 - b2) ·i

4) Произведение комплексных чисел равно:

z1·z2 = (a1 · a2 – b1 · b2) + (a1 · a2 + b1 · b2)

5) Частное комплексных чисел равно:



(Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.)

2.2 Понятие о комплексной плоскости.

Комплексная плоскость С – плоскость с прямоугольной декартовой системой координат x, y, каждая точка которой (x; y) отождествлена с комплексным числом z=x+yi. Поэтому на комплексной плоскости говорят о точках z или о векторах z, подразумевается вектор, приложенный в начале координат с концом в точке z. Ось абсцисс OX на комплексной плоскости называется действительной осью, а ось ординат OY – мнимой осью.

Поле С является алгебраическим расширением поля действительных чисел и получается присоединением к полю R корня i многочлена x2+1. Поле С алгебраически замкнуто: любой многочлен с коэффициентами из С разлагается над С на линейные множители. Поле С является единственным минимальным расширением поля R, в котором уравнение x2+1 имеет корень.

2.3 Геометрическая форма комплексного числа.

Комплексное число z=a+b·i изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (a; b). Эта точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто – мнимые – точками оси ординат.

Комплексное число изображается также вектором на комплексной плоскости с началом в точке О и концом в точке z. Сумма и разность комплексных чисел строятся по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма.

Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма:



Разность комплексных чисел строится по правилу вычитания векторов:



2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа.

z = r · (cos + i sin), где r·cos=Re z; r·sin=Im z;

r =, cos= sin=

= Arg zглавный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа z, -<.

Для комплексных чисел z1=r1·(cosφ1+i·sinφ1) и z2=r2·(cosφ2+i·sinφ2) справедливы равенства:

z1·z2=r1·r2· (cos (φ1+ φ2) +i· sin (φ12));

(cos (φ1- φ2) +i· sin (φ12)).

Для п-ой степени числа z справедливо равенство:

zn = rn(cos(nφ) + i·sin(nφ)), nN

При r=1 соотношение принимает следующий вид и называется формулой Муавра:

(cosφ + i· sinφ)n=cos(nφ)+i·sin(nφ).

Корень п-ой степени:

, где κ = 0, 1, 2, …, n-1

Пример:

z=8+6·i – алгебраическая форма.

r=

cos φ=.

sin φ=

z=10·

2.5 Показательная форма комплексного числа.

z=r·ei·φ.

e±i·φ=cos φ±i ·sin φ – формула Эйлера

1) Для комплексных чисел , справедливы равенства:

;

, где r2>0.

2) Для n-ой степени числа z справедливо равенство:

zn=rn·ei·n·φ.

3) Корень n–ой степени из числа равен:

, κ=0,1,2,…,n-1

Пример:

z=8+6·i



.

3 Построение комплексных множеств на плоскости.

3.1 Пример 1.



Так как z=x+y·i, xR, yR, то

а) первое условие примет вид:



Это множество точек, лежащих внутри и на границе кольца между окружностями с центром (1;0) и радиусами, равными 2 и 3;

б) второе условие примет вид:

искомое множество есть часть кольца, ограниченная отрезками прямых: y=0 и y=

Решение данной системы есть следующее множество точек, изображенных на плоскости:



3.2 Пример 2.



Так как z = x + y · i, то



Тогда исходное неравенство примет вид:






Решением данной системы является следующее множество точек:



4 Графическое решение систем уравнений и неравенств комплексных чисел, содержащих параметр.

4.1 Пример 1.

При каких значениях параметра а система уравнений

имеет единственное решение?

Так как z = x + y · i, то система будет выглядеть следующим образом:

Графиком функции y = 1 – x является прямая, проходящая через точки (0;1) и (1;0), а график x2 + y2 = a представляет собой окружность с радиусом . Система уравнений будет иметь единственное решение только в том случае, когда прямая, заданная функцией y = 1 – x будет касательной к окружности с радиусом .





Ответ: при система уравнений имеет единственное решение.

4.2 Пример 2.

При каких значениях параметра а система неравенств выполняется для всех х на отрезке ?

Так как z = x + y · i , то система будет выглядеть следующим образом:



Для решения системы неравенств воспользуемся графическим методом.

Введём прямоугольную систему координат и обозначим вертикальную ось ОХ, а горизонтальную – Оа.

Решением данной системы неравенств является множество точек, заключенных внутри окружности, заданной уравнением , и в то же время находящимися между прямыми , а так же лежащие не ниже точек графика, заданного функцией .

Данные чертежа наглядно иллюстрируют решение системы неравенств: .




5 Проверка качества применимости изложенного материала для самостоятельного изучения темы «Комплексные числа».

5.1 Тест контроля знаний по теме «Комплексные числа».





п/п

Вопросы / варианты ответов

Ответы

1

2

3

1

Сколько форм записи имеет комплексное число (к. ч.)?

г




а)1




б)2




в)3




г)4

2

Что представляет собой число i?

б




а) число, квадратный корень из которого равен – 1




б) число, квадрат которого равен – 1




в) число, квадратный корень из которого равен 1




г) число, квадрат которого равен 1

3

Формулу Муавра можно применять, если к. ч. записано:

в




а) в показательной форме




б) наглядной форме




в) тригонометрической форме




г) алгебраической форме

4

Формулу Эйлера можно применять, если к. ч. записано:

а




а) в показательной форме




б) наглядной форме




в) тригонометрической форме




г) алгебраической форме

5

Как на координатной плоскости изображается к. ч.?

б




а) в виде отрезка




б) точкой или радиус-вектором




в) плоской геометрической фигурой




г) в виде круга

6

Выберите из предложенных чисел чисто мнимое:

б




а) z = 5 - 3i




б) z = 75i




в) z = 32




г) z = 0

7

Вычислите сумму чисел z1 = 7 + 2i z2 = 3 + 7i:

а




а) 10 + 9i




б) 4 – 5i




в) 10 – 5i




г) 4 + 5i

8

Как выглядит тригонометрическая форма числа

б




а) это радиус-вектор




б) z = 5(0,6 + 0,8i)




в) z = 3 – 4i




г) это точка на координатной плоскости

1

2

3

9

В какое множество входят числа 5; 3-6i; 2,7; 2i?

в




а) действительные числа




б) рациональные числа




в) комплексные числа




г) иррациональные числа

10

Кто ввёл название «мнимые числа»?

а




а) Декарт




б) Арган




в) Эйлер




г) Кардано


5.2 Критерии оценки.

Количество

набранных балов

Оценка

Комментарии

0-4

2

Тема изучалась невнимательно. Следует вернуться в начало работы и попробовать ещё раз.

5-6

3

Результат не блестящий. Надо разобрать проблемные разделы.

7-8

4

Разбор темы выполнен хорошо, но надо разобраться с непонятными вопросами.

9-10

5

Разбор темы выполнен на «отлично».

Заключение.

В процессе исследования была создана обучающая программа, которую можно использовать для индивидуального обучения. Эту программу можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя математики могут использовать её как методическое пособие при изложении данной темы, а так же для контроля знаний учащихся.

Этой программой могут воспользоваться и те, кто хочет знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Используемая литература.

  1. Афанасьев О. Н., Бродский Я. С. Сборник задач по математике для техникумов. – М.: Наука, 1992.

  2. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ. – М.: Просвещение, 1990.

  3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

  4. Говоров В. М., Дыбов П. Т. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: Наука, 1983.

  5. Маркулевич А. И. Комплексные числа и комфорные отображения. – М., 1960

  6. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. – М.: ОНИКС XXI век, Мир и образование, 2002.

  7. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. – М.: Просвещение, 1989.

  8. Шахно К. У. Элементарная математика для окончивших среднюю школу. – Л., 1976.

  9. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н. Избранные задачи и теоремы элементарной математики: арифметика и алгебра. – М.: Наука, 1976.

  10. Штейнгауз В. Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.

  11. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.