uzluga.ru
добавить свой файл
§ 3. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.

Сведения из теории:

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют вещественные числа не равные одновременно нулю такие, что

(*)

Если же равенство (*) выполнимо только в случае, когда , система векторов называется линейно независимой.

Определение. Два вектора и называются коллинеарными, если у этих векторов существуют представители, лежащие на параллельных прямых.

Определение. Три вектора и называются компланарными, если существует плоскость и представители и векторов и соответственно такие, что .

Теорема. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда ее векторы коллинеарны.

Теорема. Система, состоящая из трех векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда ее векторы компланарны.

Теорема. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Теорема (критерий компланарности трех векторов). Три вектора , , , заданные своими координатами в произвольном базисе являются компланарными тогда и только тогда, когда



Определитель второго порядка – это число .

Определитель третьего порядка – это число .

Задачи.

  1. Доказать, что векторы компланарны тогда и только тогда, когда для любых векторы компланарны.




  1. Установить, в каких из следующих случаев тройки векторов , , будут линейно зависимы, и в тех случаях, когда это возможно, представить вектор как линейную комбинацию векторов и : а) (6,4,2), (-9,6,3), (-3,6,3);

б) (5,2,1), (-1,4,2),(-1,-1,6).

Указания. а) Применим критерий компланарности векторов. С учетом задачи 1 мы можем взять более "простые" векторы: . Векторы компланарны, то есть линейно зависимы. Векторы и неколлинеарны, следовательно, вектор можно выразить как линейную комбинацию векторов и . Пусть . Найдем числа . Если расписать это векторное равенство в координатах, то получим систему уравнений:

. Итак, .

б) Применим критерий компланарности.

, следовательно, данные векторы некомпланарны, то есть линейно независимы. В этом случае вектор нельзя представить как линейную комбинацию векторов и .



  1. Представить вектор как линейную комбинацию векторов , , , если (2,3,1), (5,7,0), (3,-2,4), (4,12,-3) . Образуют ли векторы , , базис?

Указания. Пусть . Подставим в это выражение координаты векторов. . Получим систему уравнений . Решим ее.

. Получим .

Для того чтобы выяснить, образует ли тройка векторов , , базис, достаточно проверить их линейную независимость. (Почему? Вспомните определение базиса). 

  1. Среди векторов (1,-6,3), (0,-4,5), (3,0,0), (0,-1,0),(5,0,6), (2,-3,6), (0,0,-2), (-3,1,0), (6,0,1), (0,5,0) указать векторы: а) коллинеарные , б) коллинеарные , в) компланарные с и , г) компланарные с и .

Указания. Пусть - базис. Тогда (1,0,0). Аналогично, (0,1,0), (0,0,1) в базисе . Пусть вектор . Мы знаем, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. То есть тогда и только тогда, когда существует число t такое, что . Мы получили, что тогда и только тогда, когда вторая и третья координаты вектора равны нулю, а первая координата может быть любой. Следовательно, коллинеарен вектор (3,0,0). Докажите аналогично, что тогда и только тогда, когда первая и третья координаты вектора равны нулю, а вторая координата может быть любой, следовательно, коллинеарен вектор (0,-1,0). тогда и только тогда, когда первая и вторая координаты вектора равны нулю, а третья координата может быть любой, следовательно, коллинеарен вектор (0,0,-2).

Пусть компланарен с и числа  и  : = +. Запишем это равенство в координатах или . Это означает, что компланарен с и тогда и только тогда, когда третья координата вектора равна нулю, а две другие координаты – произвольные числа (они могут быть равны и нулю). Итак, векторы (3,0,0), (0,-1,0), (-3,1,0), (0,5,0) компланарны с и . Докажите по аналогии, что компланарен с и тогда и только тогда, когда вторая координата вектора равна нулю, а две другие координаты – произвольные числа (они могут быть равны и нулю). Догадайтесь, когда компланарен с и и докажите, что Вы правы. 


  1. В основании четырехугольной пирамиды лежит параллелограмм . Точка - середина ребра , точка - середина ребра , точка К делит ребро в отношении 1:3. Существует ли в плоскости прямая , проходящая через точку и такая, что прямые параллельны некоторой плоскости?

Указания. Пусть - точка пересечения искомой прямой с прямой и обозначим число такое, что . Рассмотрим три вектора . Тогда прямые параллельны некоторой плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Компланарность векторов мы можем определить с помощью критерия, но для его применения нужны координаты векторов, а чтобы у векторов появились координаты надо ввести базис. Пусть - базис. Найдем координаты векторов в этом базисе.

;

Применим критерий компланарности , то есть . Мы видим, что точка находится за вершиной пирамиды. Мы решили задачу в предположении, что прямая а пересекает прямую , но она может быть и параллельна ей. Рассмотрим этот случай отдельно. В этом случае пусть точка . Тогда . Применим критерий компланарности:

. Векторы компланарны, то есть и такая тройка прямых является решением задачи. 


Задачи к зачету и проверочным работам.

  1. Представить вектор как линейную комбинацию векторов , , , если (5,-2,0), (0,-3,4), (-6,0,1), (-1,1,-3) . Образуют ли векторы , , базис?

  2. Доказать, что для любых векторов , , и чисел , ,  векторы , , компланарны.

  3. Дана треугольная призма . Доказать, что для прямых , , существует плоскость, которой они параллельны.

  4. Дана треугольная призма . Существует ли в плоскости прямая , отличная от , и такая, что , прямые , , параллельны одной плоскости?

  5. В основании четырехугольной пирамиды лежит параллелограмм . Отрезок - биссектриса треугольника , О – точка пересечения диагоналей параллелограмма , точка К – середина АО. В плоскости основания пирамиды через точку К проведите прямую а так, чтобы прямые а, , были параллельны одной плоскости. Выяснить, пересекает ли эта прямая отрезок .
    Указания. Введите базис , обозначьте точку пересечения прямой а с прямой АВ через Х и найдите число такое, что .

  6. В основании четырехугольной пирамиды лежит параллелограмм . Отрезок - биссектриса треугольника , О – точка пересечения диагоналей параллелограмма , точка К – середина АО. На прямой найти точку Х такую, что прямые параллельны одной плоскости.

  7. Даны три ненулевых вектора , , , каждые два из которых неколлинеарны. Найти их сумму, если и .

  8. Дан произвольный тетраэдр . Отрезок - медиана грани , отрезок - медиана грани , - биссектриса грани . Выяснить, будут ли прямые ,, параллельны одной плоскости?

  9. Решите предыдущую задачу, заменив медианы биссектрисами.

  10. Дан произвольный тетраэдр . Отрезок - биссектриса грани , отрезок - биссектриса грани . В грани найти прямую АХ такую, что прямые АХ, , параллельны одной плоскости.

  11. В условиях предыдущей задачи в грани найти прямую такую, что прямые АХ, , , параллельны одной плоскости.