uzluga.ru
добавить свой файл





  • ТЕОРИЯ

  • УПРУГОСТИ



Лекция 2. Кинематика сплошной среды.

  • Лекция 2. Кинематика сплошной среды.

  • Лекция 3. Тензор напряжений.

  • Лекция 4. Закон Гука.

  • Лекция 5. Уравнение непрерывности, сохранения импульса и момента количества движения сплошной среды.

  • Лекция 6. Уравнение сохранения внутренней энергии. Тензор плотности потока полной энергии



Из курса физики:

  • Из курса физики:

    • твердое тело и идеальная среда.
  • Из курса математики:

    • матрицы и определители,
    • тензоры 1, 2, 3 ранга третьей мерности,
    • дифференциальное и интегральное исчисление,
    • решение простейших дифференциальных уравнений и их систем,
    • анализ дифференциальных уравнений.


понятии упругих, неупругих и температурных деформаций;

    • понятии упругих, неупругих и температурных деформаций;
    • физическом смысле и математическом представлении основных характеристик деформаций, возникающих под действием внешних сил и изменении температуры;
    • плотностях потоков сплошной среды, их физическом смысле;
    • основных уравнениях сохранения характеристик сплошной среды;
    • распространении малых упругих возмущений.




Введение основных понятий и терминов, используемых в теории упругости.

  • Введение основных понятий и терминов, используемых в теории упругости.

  • Определение базового набора характеристик для описания напряжений, возникающих в сплошной среде под действием внешних сил и изменения температуры.



2.1. Деформация. Тензор относительной деформации.

  • 2.1. Деформация. Тензор относительной деформации.

  • 2.2. Тензор поворота.

  • 2.3. Тензор деформации

  • 2.3.1. Изменение объёма тела при деформации.

  • 2.3.2. Геометрические свойства линейных деформаций.

  • 2.3.3. Эллипсоид деформации.

  • 2.4. Температурная деформация. Теорема Коши- Гельмгольца.

  • 2.5. Полная деформация элемента объёма.



Кинематика (от греческого слова kinema -движение) - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учёта их массы и действующих на них сил.

  • Кинематика (от греческого слова kinema -движение) - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учёта их массы и действующих на них сил.

  • В зависимости от свойств изучаемого движения кинематику подразделяют на:

  • кинематику материальной точки,

  • кинематику абсолютного твердого тела;

  • кинематику непрерывно изменяющейся среды (деформация твердого тела, жидкости или газа)



Под влиянием внешних сил или при изменении температуры тело изменяет свою форму и объём. Поэтому расстояние между двумя любыми соседними точками изменяется, т.е. тело деформируется.

  • Под влиянием внешних сил или при изменении температуры тело изменяет свою форму и объём. Поэтому расстояние между двумя любыми соседними точками изменяется, т.е. тело деформируется.

  • Деформации– однородные: растяжение или сжатие, сдвиг;

  • неоднородные: изгиб и кручение.

  • Рассмотрим в декартовой системе координат некоторое тело (рис.2.1). Обозначим оси координат через xi (i =1, 2, 3).

  • Выделим бесконечно малый элемент объёма тела, расположенный около точки P . Положение точки P можно характеризовать радиусом-вектором r = (x1,,x2, x3).

  • После приложения к телу внешних сил в целом неподвижное тело деформируется, и точка P перейдет в другую точку пространства P , определяемую радиус-вектором r׳ = (x׳1, x׳2, x׳3).





.

  • .

  • На рис. 2.1 видно, что, используя правило параллелограмма, деформацию в точке P можно связать с деформацией в точке Q соотношением u(Q) = u(P) + du ,

  • Каждую компоненту деформации u в точке r + dr можно разложить в ряд Тейлора

  • (2.1.1)



  • Учет нелинейных членов разложения в уравнение (2.1.1) требуется только при больших деформациях. В дальнейшем рассматриваются лишь малые деформации, когда деформацию можно рассматривать как упругую, при которой после снятия внешних сил тело полностью восстанавливает свою форму и объём. Деформация висячего тела

  • Если условиться, что по дважды повторяющемуся индексу производится суммирование, то (2.1.1) можно записать в виде



Изменение смещения dui можно записать в виде

  • Изменение смещения dui можно записать в виде

  • (2.1.2)

  • Величина Aik есть тензор второго ранга третьей мерности, т.к. индексы i и k принимают значения 1, 2, 3. Тензор Aik называют тензором относительной деформации. Его компоненты являются в общем случае функциями координат и времени, т.е. Aik = Aik(r, t).

  • Будем предполагать, что компоненты тензора относительной деформации малы по сравнению с единицей из-за малости деформации или из-за малости промежутка времени деформирования, т.е. Aik << 1.



В тензоре Aik можно выделить симметричную и антисимметричную часть

  • В тензоре Aik можно выделить симметричную и антисимметричную часть

  • (2.1.3)

  • Симметричную часть ik тензора Aik называют тензором деформации, который равен

  • (2.1.4)

  • Антисимметричную часть ik тензора Aik называют тензором поворота, который равен

  • (2.1.5)



Рассмотрим физический смысл компонент тензора поворота ik . Предположим, что все компоненты тензора деформаций ik равны 0, т.е. ik=0. Тогда в соответствие с (2.1.2, 3) имеем

  • Рассмотрим физический смысл компонент тензора поворота ik . Предположим, что все компоненты тензора деформаций ik равны 0, т.е. ik=0. Тогда в соответствие с (2.1.2, 3) имеем

  • (2.2.1)

  • Поскольку в соответствие с определением (2.1.5) компоненты φ11 = φ22 = φ33 = 0, то компоненты тензора ik образуют матрицу

  • (2.2.2)

  • причем, в матрице (2.2.2) φ12 = - φ21 , φ13 = - φ31 , φ23 = - φ32 .

  • Таким образом, имеются лишь три независимых компоненты тензора поворота φik . Введем обозначения φ12 = - φ3 , φ13 = φ2 , φ23 = - φ1 .



В результате матрица (2.2.2) принимает вид

  • В результате матрица (2.2.2) принимает вид

  • (2.2.3)

  • Тогда компоненты вектора согласно (2.2.1) можно записать в виде

  • Данные соотношения определяют компоненты вектора du, который равен векторному произведению векторов и r :

  • du = dui + duj + du3 k = = dr. (2.2.4)



  • Рис. 2.2

  • малый угол , т.е. антисимметричная часть ik тензора относительной деформации Aik описывает не деформацию элемента тела в данной точке Р в собственном смысле этого слова, а лишь его поворот как абсолютно твёрдого элемента тела.



Ротор некоторого вектора u в матричном представлении записывают в виде

  • Ротор некоторого вектора u в матричном представлении записывают в виде

  • (2.2.5)

  • Но согласно определения (2.1.5) для независимых компонент тензора поворота ik и определения (2.2.5) для компонент rot u можно записать следующие соотношения:

  • (2.2.6)

  • Следовательно, компоненты тензора поворота представляют собой компоненты ротора смещения, т.е

  • (2.2.7).



Матрица симметричного тензора деформации (2.1.4) в виде произвольном и приведенная к главным осям деформации

  • Матрица симметричного тензора деформации (2.1.4) в виде произвольном и приведенная к главным осям деформации

  • равна:

  • =

  • Диагональные компоненты тензора деформаций в главных осях называют главными значениями тензора ik и они описывают главные деформации среды. Если все компоненты тензора поворота равны нулю, т.е. ik=0, то согласно (2.1.2, 3)

  • (2.3.1)

  • Деформации в главных осях можно записать в виде

  • (2.3.2)

  • Главные деформации описывают локальные растяжение (+) или сжатие (-) элемента объёма в направлении главных осей деформации. Растяжение или сжатие по трем взаимно перпендикулярным направлениям называют чистой деформацией.



Таким образом, если все компоненты тензора поворота равны нулю (ik = 0), то всегда в элементе объёма, лежащем около точки P, можно определить главные оси деформации, в которых этот элемент объёма испытывает чистую деформацию. Если же компоненты тензора ik не равны нулю, то они описывают поворот этих главных осей вокруг точки P на некоторый малый угол.

  • Таким образом, если все компоненты тензора поворота равны нулю (ik = 0), то всегда в элементе объёма, лежащем около точки P, можно определить главные оси деформации, в которых этот элемент объёма испытывает чистую деформацию. Если же компоненты тензора ik не равны нулю, то они описывают поворот этих главных осей вокруг точки P на некоторый малый угол.

  • Следовательно, деформацию некоторого элемента объёма тела в общем случае можно разделить на:

  • чистую деформацию (растяжение или сжатие по главным осям деформации);

  • поворот на малый угол главных осей деформации.

  • Причем, этот поворот происходит как поворот абсолютно твердого тела. Ранее отмечалось, что компоненты тензора поворота ik являются соответствующими компонентами вектора поворота φ или ротора смещения в соответствии с (2.2.7). Компоненты же тензора деформации ik описывают растяжение или сжатие вдоль трех взаимно перпендикулярных осей (диагональные элементы) и изменение формы (недиагональные элементы).



При чистой деформации рёбра элемента объёма получают приращения и их величину можно определить как ∆xiº ′= ∆xiº+duiº, поэтому в соответствии с (2.3.1 и 2) элемент объема после деформации равен

  • При чистой деформации рёбра элемента объёма получают приращения и их величину можно определить как ∆xiº ′= ∆xiº+duiº, поэтому в соответствии с (2.3.1 и 2) элемент объема после деформации равен

  • Так как рассматриваются только малые деформации, т.е. ε11º, ε22º и ε33º << 1, то, пренебрегая величинами более высокого порядка малости, получим выражение для в виде:

  • 2.3.3)

  • Относительное изменение объёма при чистой деформации равно

  • (2.3.4)

  • Соотношение (2.3.4) можно записать и в следующем виде

  • (2.3.5)



1. Точки элемента объёма тела, находящиеся до деформации в одной плоскости, после линейной деформации также расположатся в некоторой плоскости.

  • 1. Точки элемента объёма тела, находящиеся до деформации в одной плоскости, после линейной деформации также расположатся в некоторой плоскости.

  • Уравнение плоскости и связь компонент некоторой точки на этой

  • плоскости до и после деформации в главных осях имеют вид

  • После деформации координаты точек удовлетворяют уравнению вида

  • Новые координаты точек после деформации удовлетворяют уравнению

  • другой плоскости при чистой деформации, которая рассмотрена для

  • доказательства.

  • В общем же случае деформация элемента объёма состоит из

  • растяжения или сжатия по главным осям и повороту этих осей на

  • некоторый малый угол как абсолютно твёрдого тела, определяемый

  • компонентами тензора поворота. Поворот же элемента объёма как абсолютно

  • твёрдого тела, содержащего некоторую плоскость, не может сместить точки

  • тела из этой плоскости.



2. Точки, лежащие на одной прямой в элементе объёма до деформации, после деформации также будут располагаться на некоторой прямой.

  • 2. Точки, лежащие на одной прямой в элементе объёма до деформации, после деформации также будут располагаться на некоторой прямой.

  • Это свойство следует из первого, т.к. прямая является геометрическим

  • местом точек пересечения двух плоскостей. Следовательно, влияние линейной

  • деформации на материальные точки, расположенные на некотором отрезке

  • прямой, проявляются, во-первых, в повороте прямой на некоторый малый угол

  • и, во-вторых, в растяжении или сжатии этого отрезка.

  • 3. Две параллельные плоскости в элементе объёма до деформации остаются параллельными и после его деформации.

  • В главных осях уравнения двух параллельных плоскостей в элементе объёма и

  • условие их параллельности имеют вид



После деформации плоскости описываются уравнениями

  • После деформации плоскости описываются уравнениями

  • Как видно, условие параллельности плоскостей выполняется и после деформации.

  • 4. Две параллельные прямые, проведенные в элементе объёма до деформации остаются параллельными и после линейной деформации.

  • Это следствие следует из условия сохранения параллельности плоскостей.

  • Повторяя рассуждения следствия 1, можно утверждать, что свойства параллельности прямых и плоскостей сохраняются и при произвольной линейной деформации.



Уравнение сферы единичного радиуса в элементе объёма с центром в начале координат главных осей имеет вид

  • Уравнение сферы единичного радиуса в элементе объёма с центром в начале координат главных осей имеет вид

  • После деформации уравнение сферы с учетом преобразования координат при деформации в главных осях записывается в форме

  • Из данного уравнения следует, что при линейной деформации уравнение сферы переходит в уравнение эллипсоида, если все главные значения тензора деформаций различны. Этот результат справедлив и при произвольной линейной деформации, т.к. поворот элемента объёма как абсолютно твердого тела на некоторый угол не изменяет формы поверхности, расположенной внутри этого элемента объема. Если ε°11 = ε°22 = ε°33(деформация однородна), то сфера переходит в сферу большего или меньшего радиуса. Если ε°11 = ε°22 ≠ ε°33, то сфера переходит в эллипсоид вращения.



Предполагается, что в пределах элемента объёма тела температура постоянна, внешние силы отсутствуют. Пусть в начальный момент времени его температура равна To , а после нагревания или охлаждения она равна T . Предполагается также, что внутри элемента не

  • Предполагается, что в пределах элемента объёма тела температура постоянна, внешние силы отсутствуют. Пусть в начальный момент времени его температура равна To , а после нагревания или охлаждения она равна T . Предполагается также, что внутри элемента не

  • возникает каких-либо напряжений. Поэтому деформацию элемента объёма

  • вследствие изменения его температуры на величину T=T-To можно записать

  • (2.4.1)

  • Здесь величину εТik называют тензором теплового расширения, а αik - тензором линейного теплового расширения. Тензор αik является тензором 2-го ранга третьей мерности. Если элемент объёма достаточно мал и однородный, то температурные деформации имеют место только в главных осях. Поэтому она происходит без его поворота и заключается в расширении (Т > To) или сжатии (Т < To) элемента по трём взаимно перпендикулярным главным осям деформации.

  • Если тело изотропно, то матрица тензора αik в главных осях аналогична матрице εik (см п. 2.3), а диагональные элементы равны α°11 = α°22 = α°33 = α – коэффициент линейного теплового расширения . Тогда тензор теплового расширения можно записать в виде:



В этом случае тензор теплового расширения αik и температурная деформация duTi равны:

  • В этом случае тензор теплового расширения αik и температурная деформация duTi равны:

  • (2.4.2.)

  • Так как duTi есть приращение отрезка dxi вследствие температурных деформаций, то в силу линейности и изотропности деформаций для

  • приращения любого отрезка при однородном нагревании тела можно записать известную формулу

  • (2.4.3)

  • Относительное изменение объёма при температурной деформации для изотропного тела по аналогии с (2.3.5) имеет вид

  • (2.4.4)

  • Последнее соотношение для малых температурных деформаций можно записать в дифференциальной форме, если полагать, что ΔV V, δV ≈ dV, ΔT T:

  • (2.4.5)

  • Величину 3 называют коэффициентом объёмного расширения тела. Производная в последней формуле взята при постоянном давлении, т.к. при однородном нагревании тела в отсутствие внешних сил внутри него не возникает каких-либо напряжений. Эту величину называют изобарной сжимаемостью среды.



Если же тело под действием внешних сил перемещается в пространстве, то перемещается и точка P как полюс (см. Рис.2.1). Поэтому, рассматривая смещение произвольного элемента объёма тела, в общем случае можно сформулировать теорему Коши-Гельмгольца в форме:

  • Если же тело под действием внешних сил перемещается в пространстве, то перемещается и точка P как полюс (см. Рис.2.1). Поэтому, рассматривая смещение произвольного элемента объёма тела, в общем случае можно сформулировать теорему Коши-Гельмгольца в форме:

  • Общее перемещение некоторой точки Q элемента объёма

  • деформируемого тела, содержащего точку P , может быть представлено

  • в виде суммы:

  • поступательного перемещения точки P как полюса;

  • вращения точки Q вместе с элементом объёма как абсолютно твердого тела вокруг точки P на малый угол, определяемый вектором поворота ;

  • собственно деформационного перемещения вследствие сжатия или растяжения по трем взаимно перпендикулярным осям (главным осям деформации).

  • Математически теорему можно записать в следующим виде:

  • (2.5.1)



В (2.5.1) εikl - символ Леви-Чивита. Из (2.5.1) видно, что по сравнению механикой абсолютно твердого тела в механике деформируемого тела к смещению любой точки добавляется еще одно слагаемое, связанное с собственно деформацией среды по трем взаимно перпендикулярным направлениям, в общем случае произвольном.

  • В (2.5.1) εikl - символ Леви-Чивита. Из (2.5.1) видно, что по сравнению механикой абсолютно твердого тела в механике деформируемого тела к смещению любой точки добавляется еще одно слагаемое, связанное с собственно деформацией среды по трем взаимно перпендикулярным направлениям, в общем случае произвольном.

  • Если при деформации элемента объема под действием внешних сил температура тела не остается постоянной (деформация неизотермическая), то к правой части определения (2.5.1) необходимо добавить еще одно слагаемое, определяющее температурную деформацию согласно (2.4.1). В этом случае общее перемещение точки Q равно

  • (2.5.2)

  • Типы деформации ,

  • Зависимость упругих свойств от температуры ,

  • Гидравлический удар





Литература по теме:

  • Литература по теме:

  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.. Гидродинамика. М.: Наука. 2002. 735с.

  • Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1970. Т.1. 492 с.; Т.2, 568с.

  • Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: ГИТТЛ. 1950. 814 с.

  • Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 736 с.



Курс лекций является частью учебно-методического комплекса «Численные методы расчета задач механики сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная среда».

  • Курс лекций является частью учебно-методического комплекса «Численные методы расчета задач механики сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная среда».

  • Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н., профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.

  • Учебно-методический комплекс подготовлен на кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.