uzluga.ru
добавить свой файл


Определенный интеграл


Задача о вычислении площади плоской фигуры

  • Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезками прямых

  • , и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией



Задача о вычислении площади плоской фигуры



Задача о вычислении площади плоской фигуры



Определенный интеграл



Определенный интеграл



Определенный интеграл



Теорема о существовании определенного интеграла



Свойства определенного интеграла



Свойства определенного интеграла



Теорема о среднем

  • Если функция непрерывна на то существует такая точка

  • что



Вычисление определенного интеграла



Пример

  • Вычислить .



Вычисление интеграла



Пример





Пример



Несобственный интеграл



Пример

  • . Вычислить несобственный интеграл

  • (или установить его расходимость)

  • .

  • Этот несобственный интеграл расходится.



Пример

  • Несобственный интеграл



Геометрические приложения определенного интеграла



Вычисление площадей

  • Площадь фигуры в декартовых координатах.



Вычисление площадей



Вычисление площадей

  • В случае параметрического задания

  • кривой, площадь фигуры, ограниченной

  • прямыми , осью Ох и кривой

  • вычисляют по

  • формуле

  • где пределы интегрирования определяют из

  • уравнений .



Вычисление площадей

  • Площадь полярного сектора вычисляют по формуле



Примеры



Продолжение

  • Получим



Примеры

  • Найти площадь эллипса . Параметрические уравнения эллипса



Пример

  • Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

  • и лежащей вне круга радиуса :



Вычисление длины дуги



Длина дуги в декартовых координатах

  • Если кривая задана уравнением ,

  • то , где a, b–абсциссы начала и конца дуги .

  • Если кривая задана уравнением

  • , то , где c, d–ординаты начала и конца дуги



Длина дуги в полярных координатах

  • Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то

  • ,

  • где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги .



Примеры

  • Вычислить длину дуги кривой

  • от точки до .

  • , тогда



Вычисление объема тела вращения.

  • Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле .



Вычисление объема тела вращения

  • Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле

  • .



Вычисление объема тела вращения



Решение

  • Тогда