uzluga.ru
добавить свой файл



ГЛАВНОЕ МЕНЮ







«прогрессия» ( progressio, лат.)

  • Термин означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.

  • В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.



Кто же их открыл?

  • Прогрессии известны издавна, а потому нельзя сказать, кто их открыл. Ведь и натуральный ряд – это арифметическая прогрессия.

  • Во время раскопок в Египте был найден папирус, который датируется 2000 г. до н.э., но и его содержание было переписано из другого, еще более раннего, отнесенного  к ІІІ тысячелетию до н.э.

  • Ученые расшифровали текст папируса, содержание некоторых задач дает возможность отнести их к задачам на прогрессии.



Задача из папируса Ахмеса



Задача из папируса Райнда



Леонардо Пизанский (Фибоначчи)

  • Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах.

  • В задаче спрашивается, сколько всего предметов. В этой же книге приводится правило для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессии.



В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает между ними связь:

  • В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает между ними связь:

  • 1, 2, 3, 4, 5, …

  • 10, 102, 103, 104, 105, …

  • и указывает на связь между ними, например:

  • 103·105=103+5=108,

  • т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

  • В ходе своих исследований Архимед нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда:



Легенда об истории изобретения шахмат

  • О том, как давно была известная геометрическая прогрессия, свидетельствует легенда. Изобретатель шахмат, ученый Сета, попросил в награду у индийского принца Сирама за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клеточку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в два раза больше и так далее.



Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. За все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить (264 – 1) зерно, что выражается 20-значным числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен.

  • Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. За все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить (264 – 1) зерно, что выражается 20-значным числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен.

  • Оказывается, когда точно подсчитали общее количество зерен, то их получилось 18 446 744 073 709 551 615. В этой задаче речь идет о геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 2. Необходимо найти сумму 64 первых членов геометрической прогрессии.



В вавилонских текстах рассказывается о том, что увеличение освещенной части лунного диска на протяжении первых пяти дней происходит по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2,  а  в следующие десять дней – по закону арифметической прогрессии с разностью 16. Широкий интерес вавилонян к астрономии делает понятным возникновение этой задачи.

  • В вавилонских текстах рассказывается о том, что увеличение освещенной части лунного диска на протяжении первых пяти дней происходит по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2,  а  в следующие десять дней – по закону арифметической прогрессии с разностью 16. Широкий интерес вавилонян к астрономии делает понятным возникновение этой задачи.



На одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29 = 210 – 1 (сумма первых девяти членов геометрической прогрессии).

  • На одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29 = 210 – 1 (сумма первых девяти членов геометрической прогрессии).

  • Вот другая задача, которую решали в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до новой эры: «10 братьев, 1 и две трети мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько он выше?»

  • Здесь требуется по сумме первых десяти членов геометрической прогрессии 1 и двух третьей мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному восьмому члену определить разность арифметической прогрессии.



«Русская правда»

  • Задачи на прогрессии встречаются в одной из древнейших памяток права – «Русской правде», составленной при Киевском князе Ярославе Мудром (ХІ ст.). В этом документе есть статья, посвященная вычислению приплода от 22 овец за 12 лет при условии, что каждая овца ежегодно приносит одну овцу и два барана. Также содержатся сведения о приплоде от пчел за определенный промежуток времени, о количестве зерна, собранного на определенном участке земли и др. Эти задачи не имели хозяйственного значения, а были результатом развития интереса к математике и математическому содержанию данных задач.





Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

  • Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

  • Решение:

  • а14=а1+13d, a1=59-13·4=7, S14=(7+59)/2·14=462. Ответ: все чарки весят 462 лата.





Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, например, последовательность натуральных чисел, их квадратов, кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестал быть общеупотребительным. В XVII в., например, Джон Грегорн употребляет вместо прогрессии термин «ряд»; другой видный английский математик Джон Валлис применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии». В XVIII веке в английских и французских учебниках появились обозначения геометрической прогрессии (Уильям Отред). Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии введена Торричелли.

  • Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, например, последовательность натуральных чисел, их квадратов, кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестал быть общеупотребительным. В XVII в., например, Джон Грегорн употребляет вместо прогрессии термин «ряд»; другой видный английский математик Джон Валлис применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии». В XVIII веке в английских и французских учебниках появились обозначения геометрической прогрессии (Уильям Отред). Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии введена Торричелли.



Связь между прогрессиями







1). 1, 3, 5, 7, 9, …

  • 1). 1, 3, 5, 7, 9, …

  • d = 2

  • 2). 5, 8, 11, 14, …

  • d = 3

  • 3). -1, -2, -3, -4, …

  • d = -1

  • 4). -2, -4, -6, -8, …

  • d = - 2



Заполни таблицу



Заполни таблицу



Ответы.



Ответы.



В комнату с температурой 45 градусов внесено тело с температурой 90 градусов и через 8 минут температура упала до 60 градусов. Через сколько минут температура упадет до 50 градусов?

  • В комнату с температурой 45 градусов внесено тело с температурой 90 градусов и через 8 минут температура упала до 60 градусов. Через сколько минут температура упадет до 50 градусов?

  • После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определить давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было 760 мм рт.ст.

  • При подъеме на высоту 5,5 км давление воздуха уменьшается в 2 раза. При поднятии на высоту 11 км давление уменьшается в 4 раза, а на высоте 22 км оно меньше в 16 раз. На какой высоте давление упадет до 3мм , если на поверхности земли оно равно 768 мм?

  • Стеклянная пластинка толщиной в 2см пропускает 0,95 того света, который на него падает. Найти количество света, падающего (параллельным пучком) на стопку таких пластинок, если через 20 пластинок прошло лишь 7,5 световых единиц.

  • Воздушный шар должен подняться на высоту 44 км. Рассчитать давление воздуха на этой высоте, если давление воздуха на уровне моря равно 768 мм.



Срочный вклад 1000 р., положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10%. Каким станет вклад через 3 года?

  • Срочный вклад 1000 р., положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10%. Каким станет вклад через 3 года?

  • Снижение себестоимости производства товара ровно 5% в год. Первоначальная стоимость товара равна 10000 р. Чему станет равной его себестоимость через 2 года?

  • За обучение ребенка в музыкальной школе родители платят ежемесячно 300 рублей в течении 10 месяцев, внося плату в начале каждого месяца. Администрация школы заинтересована в том, чтобы получить 1 сентября как можно больше наличных денег и поэтому предлагает родителям заплатить сразу 2800 рублей и больше в течении года за обучение не платить. Банковская ставка составляет 36%. Кому выгоднее один раз в год заплатить 2800 рублей: администрации или родителям?

  • Чтобы отправить четыре бандероли, требуется четыре разные почтовые марки на общую сумму 120 рублей.  Цены марок  составляют арифметическую прогрессию. Сколько стоит самая дорогая марка, если она в три раза дороже самой дешевой?

  • Выяснить в какой банк выгоднее положить деньги 100 у.е. на 3 года, если 1-ый банк даёт 3% в месяц, а 2-ой 40% в год‘

  • В сберегательный банк внесли вклад в размере 10000 рублей с доходом 2% годовых. Какую сумму выплатит банк вкладчику через 4 года? (ответ дать в рублях).





Задачник. Разные задачи.

  • Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тысяч руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т.д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от сделки?

  • У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 3000 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален.

  • Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьёт по 40 капель, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)?

  • Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?



Задачник. Разные задачи.

  • Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?

  • Курс воздушных ванн начинает с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

  • Том Сойер красил забор длиной 105 м, причем день за днем количество выкрашенного за день уменьшалось на одну и ту же величину. За сколько дней был выкрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 м забора, а за последние три дня – 27 м?

  • В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?



1. Решение. Используем закон охлаждения Ньютона: разность между температурой тела, температурой среды изменяется в геометрической прогрессии, если время охлаждения изменяется в арифметической прогрессии. Обозначив у - разность температур в момент t, получим:

  • 1. Решение. Используем закон охлаждения Ньютона: разность между температурой тела, температурой среды изменяется в геометрической прогрессии, если время охлаждения изменяется в арифметической прогрессии. Обозначив у - разность температур в момент t, получим:

  • у 0= 900– 450

  • Y8= y 0 q8 = 600– 450 qt = (q8 )2

  • Yt = y 0qt = 50 0 – 450 t = 16 сек.

  • 45q 8 = 15; q 8 = 1:3

  • 45qt = 5; qt = 1:9

  • 2. Так как после каждого движения поршня в сосуде остается 80% воздуха, чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8.

  • Получим Г.П.- (bn), bn=760, а q=0,8.

  • Число, выражающее давление воздуха в сосуде после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии :

  • b7= 760∙(0,8)6 ≈ 200 (мм рт. ст.).





Магический квадрат и арифметическая прогрессия

  • Существует девятка простых чисел 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 которая представляет собой арифме-тическую прогрессию. Кроме того, данные числа способны разместиться в девяти клетках квадрата 3Х3 так, что образуется магический квадрат.

  • Кроме того, оказывается, что из каждых девяти последо-вательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.



  • Все космические объекты можно разделить в следующие четко разделяющиеся группы:

  • электроны,

  • нуклоны и атомы;

  • молекулярные комплексы;

  • космическая пыль;

  • микрометеориты;

  • мелкие метеориты;

  • метеориты;

  • средние метеориты и кометы;

  • крупные метеориты и кометы;

  • малые астероиды,

  • спутники,

  • большие кометы;

  • астероиды,

  • спутники,

  • малые планеты;

  • большие планеты и нормальные звезды;

  • большие звезды и скопления звезд;

  • карликовые и нормальные галактики;

  • скопления и сверхскопления галактик;

  • Метагалактика.



Указанные группы образуют геометрическую прогрессию в отношении своих масс и характерных размеров. Зная массы и размеры одной только группы, можно определить эти параметры и для любой другой группы объектов путем деления или умножения на известные множители прогрессии.

  • Указанные группы образуют геометрическую прогрессию в отношении своих масс и характерных размеров. Зная массы и размеры одной только группы, можно определить эти параметры и для любой другой группы объектов путем деления или умножения на известные множители прогрессии.

  • И поскольку геометрическая прогрессия справедлива в таком большом диапазоне - от электронов до Метагалактики - то можно выйти за рамки известного и рассчитать например массы и размеры преонов, то есть таких мельчайших частиц, которых современная техника и почувствовать даже не может, но из которых, как предполагается, состоят элементарные частицы. 



Коробка скоростей- одна из главных и сложных механизмов почти каждой машины, начиная от автомобиля и заканчивая металлорежущим станком.

  • Коробка скоростей- одна из главных и сложных механизмов почти каждой машины, начиная от автомобиля и заканчивая металлорежущим станком.

  • Много усилий требуется конструкторам, чтобы спроектировать их таким образом, чтобы ее детали были прочны, компактны, а весь механизм обеспечивал нужное изменение скоростей движения. Русский академик А.В. Гадолин на основании расчетов доказал, что коробки скоростей следует строить со ступенями скоростей, расположенными по геометрической прогрессии(передаточное число). Этот вывод и ныне есть основным в процессе проектирования станков и механизмов.



Обработка на токарных станках ведется с различной скоростью резания в зависимости от материала, заготовки, режущего инструмента, наличия или отсутствия охлаждения и др.

  • Обработка на токарных станках ведется с различной скоростью резания в зависимости от материала, заготовки, режущего инструмента, наличия или отсутствия охлаждения и др.

  • Так как скорость резания зависит от диаметра заготовки и скорости ее вращения (числа оборотов в минуту), а диаметр заготовки (детали) задается чертежом, то регулировать скорость резания можно только путем изменения числа оборотов в минуту обрабатываемой заготовки, т. е. числа оборотов в минуту шпинделя. Для регулирования числа оборотов в минуту шпинделя на станке имеется специальный механизм коробка скоростей.

  • Коробка скоростей обеспечивает получение на шпинделе станка различных чисел оборотов в минуту, подчиненных закономерности геометрической прогрессии: каждое последующее число оборотов получается умножением предыдущего на постоянное число ф, называемое знаменателем прогрессии.



Изменение массы радиоактивного вещества со временем

  • Известно, что за единицу времени такое вещество теряет определенную часть своей массы(она переходит в другое вещество и энергию). Для каждого радиоактивного вещества определяется величина Т- время периода полураспада.

  • Массы нераспавшегося вещества в моменты 0,Т,2Т,3Т,… образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.



Изучение интенсивности размножения различных видов растений, насекомых и животных имеет большое практическое значение.

  • В биологии существует такой термин как репродуктивный потенциал, т.е. скорость, с которой может происходить рост численности популяции при отсутствии факторов, препятствующих размножению, и при обилии пищи. Вклад отдельной особи в увеличении численности осуществляется различными способами, например, большим число потомков при каждом размножении.



Вообще микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

  • Вообще микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

  • Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

  • Постепенно микроорганизмы пожирают окружающую среду и начинают задыхаться в собственных отходах. С этого момента рост “народонаселения” замедляется, а затем вся микробная “цивилизация” переходит “в мир иной”. Такая “экологическая катастрофа” происходит всякий раз при спиртовом брожении, например, вина. При достижении 11 – 13 % спирта бактерии, вырабатывающие ферменты брожения, погибают. Именно поэтому крепость всех сухих вин ограничена этими цифрами. В десертные (крепленые) вина спирт добавляют. Данная схема развития присуща любой цивилизации, паразитирующей на окружающей среде.



Интенсивность размножения бактерий

  • Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисло-молочных продуктов, при квашении, солении и др.); в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин); в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.); в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).



Операция дисконтирования (от английского discount-скидка) играет большую роль в бизнесе.



Исчисление «сложных» процентов

    • Так, если клиент открыл в Сбербанке вклад (депозит) на сумму 3 млн. рублей сроком на 5 лет, то банк платит клиенту за пользование его средствами ставку в размере 8% годовых. Схема расчета такова, за первый год хранения средств в банке клиент получит 240тыс. рублей (3.000.000 · 8%) и общая сумма депозита составит 3.240.000 (3.000 000+3.000.000·8%). За два года хранения общая сумма вклада – 3. 000.000 *=3.499.200рублей. За три года – 3.000.000 *=3.779.136 рублей. За четыре года – 3.000.000 *=4.081.466,88 рублей. За пять – 3.000.000 * =4.407.984,23 рублей. Налицо геометрическая прогрессия: = 4.407.984,23 рублей, где 3.000.000 – первоначальная сумма депозита, а 1,08 – знаменатель прогрессии.


«Финансовые» пирамиды и сетевой маркетинг



Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

  • Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

  •     Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха1; 3; 5; 7... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью прогрессии 2.



Ямб

  • Ямб

  • «МорОз и сОлнце; дЕнь чудЕсный!...»

  • «Мой дя`дя  са`мых  че`стных  пра`вил…»

  • Хорей

  • «ВЕтер,вЕтер,тЫ могУч,

  • ТЫ гонЯешь стАи тУч…»

  • «Бу`ря  мгло`ю  не`бо  кро`ет…»



Коротко о разном

  • Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли и вывезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

  • В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов – использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует арифметическую прогрессию и общее количество легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице.



Коротко о разном

  • Распространение инфекционной болезни среди людей идет по схеме, аналогичной финансовой пирамиды.

  • Схематически это может выглядеть так: инфицированный человек (источник инфекции) передаёт возбудителя болезни другим людям, каждый вновь инфицированный вовлекает в эпидемический процесс n – ое число людей, т.е. возникает инфекция.



Коротко о разном



Коротко о разном

  • Долгое время в описании демографического развития господ-ствовали теории (примером может служить широко известная теория Т. Мальтуса, согласно которой рост численности населения происходит по закону геометрической прогрессии (производство продовольствия при этом растет в арифметической прогрессии)), предполагающие, что скорость увеличения числа людей  на Земле пропорциональна числу людей N (так называемая кинетика первого порядка).



«Прогрессио — движение вперед».

  • Закончился двадцатый век.

  • Куда стремится человек?

  • Изучен космос и моря,

  • Строенье звезд и вся земля.

  • Но математиков зовет

  • Известный лозунг

  • «Прогрессио — движение вперед».



Литература

  • П.Т.Апанасов, Н.П.Апанасов «Сборник математических задач с практическим содержанием», М. «Просвещение», 1987 г.

  • Г.И.Глейзер.История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей.- М.:Просвещение,1982.

  • А.Г.Мордкович. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/– 10-е изд., перераб. – М.:Мнемозина, 2009.

  • А.С. Симонов. Экономика на уроках математики.- М.:Школа-Пресс,1999.

  • http://ru.wikipedia.org/

  • http://festival.1september.ru/