uzluga.ru
добавить свой файл

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области


Управление образования Муниципального образования

Сысертский городской округ

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №5»


Реферат по геометрии

Тема: «Методы решения задач на построение»


Исполнитель: ученица 9 «А» класса

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №5»

Агафонова Анастасия.

Руководитель: Агафонова Л.В.

Учитель математики высшей категории.


п. Большой Исток 2008 г.


^

Содержание

Введение 4

1. Стандартные построения 8

1.1. Предложения Евклида 8

1.2. Стандартные построения циркулем и линейкой 9

2. Решение задач на построение 13

3. Методы геометрических построений 15

^

3.1. Метод геометрических мест 15

3.2. Метод вспомогательной фигуры «Построительные леса» 21

3.3. Метод подобия 26

Заключение 30

Литература 31

Приложение 1 32

Приложение 2 33

Приложение 3 34

Приложение 4 35

Приложение 5 36

^

Приложение 6 37

Приложение 7 40

Приложение 8 41

Приложение 9 44

Приложение10 47

Введение.


Задачи на построение вошли в практику задолго до того, как геометрия и вообще математика стала настоящей теоретической наукой. И в Вавилоне, и в Древнем Египте в IV–II тысячелетиях до н.э. уже существовала практическая математика (в виде правил записи чисел, т. е. системы счисления, и правил различных вычислений), и практическая геометрия – геометрия в изначальном смысле слова: измерение земли. Но и при измерениях, и при строительных работах нужны были построения. Египтяне, по-видимому, знали, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный, так что с помощью веревки, разделенной узлами на 12=3 + 4 + 5 частей, можно построить прямой угол. Древние греки так и называли египетских геометров «гарпедонаптами» – дословно, «натягивателями веревок». С другой стороны, уже вавилоняне рассматривали геометрические задачи теоретического характера, использовали подобие фигур, знали «теорему Пифагора» более чем за тысячу лет до Пифагора (см. Приложение 1). Однако математические и геометрические знания в Вавилоне, Египте, да и в Греции вплоть до VII в. до н.э. были эмпирическими, основанными только на опыте и наблюдениях. Геометрия как наука, да и вообще наука как таковая, появилась во времена Фалеса (см. Приложение 2) (VII–VI вв. до н.э.), который впервые осознал необходимость доказательства математических теорем. После Аристотеля (см. Приложение 3) (IV в. До н.э.) название «геометрия» закрепилось за математической наукой, а «землемерию» было дано свое наименование: «геодезия» – деление, межевание земель. К концу IV века до н.э. в математике, которая и сводилась, главным образом, к геометрии, накопилось много понятий, фактов, доказательств, методов и даже теорий – таких, как метод исчерпывания и теория отношений Евдокса (см. Приложение 4), теория конических сечений и др. Аристотелем уже были разработаны основные принципы построения общей аксиоматической теории. И на рубеже IV и III веков Евклид (см. Приложение 5) создал 13-томный труд, «Stoicheia» – стихии, элементы по-гречески, «Elementa» (элементы) на латыни, «Начала» по-русски. «Начала» вот уже третье тысячелетие служат образцом научного трактата (аксиоматического изложения теории) и учебника, и не только по геометрии.

В первой книге «Начал» Евклид с помощью первых трех постулатов1 фактически определяет, что такое идеальные линейка2 и циркуль3, причем чисто теоретически, не обращаясь к самим этим инструментам. Эти постулаты гласят:

  • «Что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию»;

  • «И что ограниченную прямую (можно) непрерывно продолжать по прямой»;

  • «И что из всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг». («Ограниченная прямая» – это, конечно, отрезок, а слово «круг» и до недавнего времени часто заменяло слово «окружность».)

Обратим внимание на то, что линейка здесь односторонняя: с ее помощью можно проводить прямые и неограниченно продолжать их, но нельзя строить пары параллельных прямых, и что никаких делений на ней нет (т. е. с помощью линейки нельзя ничего измерить). В большинстве современных учебников прямая считается бесконечной в обе стороны, в отличие от луча и отрезка, и первые два постулата заменяют одной аксиомой: через две различные точки можно провести прямую (притом только одну). Роль третьего постулата играет определение окружности – такое же, как у Евклида: как геометрического места (т. е. множества) точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние.

Зачем Евклиду потребовались построения? Зачем вообще в геометрии построения? Зачем нужно учиться решать задачи на построение (Евклид называл их проблемами, в отличие от теорем)?

Доказательства, да и вычисления в геометрии, как правило, опираются на какие-то дополнительные построения. Конечно, их можно просто описать, но нужно быть уверенными, что они действительно возможны. Еще важнее то, что определения геометрических объектов и понятий при строгом изложении теории должны сопровождаться доказательствами их существования (иначе – о чем речь?). А главный метод доказательства существования в геометрии – конструктивный, т. е. построение нужного объекта с последующим доказательством, что построенный объект удовлетворяет нужным условиям. Например, существование прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку, доказывается построением этой прямой. Во многих случаях после построения и доказательства проводят исследование числа решений в зависимости от данных задачи; в частности, выясняют, всегда ли – и когда – построение осуществимо. (Пример с параллельной стоит особняком: единственность решения в этом случае обеспечивается отдельным постулатом. Можно принять и постулат о неединственности; тогда возникнет другая непротиворечивая теория – неевклидова геометрия Лобачевского (см. Приложение 6).)

Построение, доказательство и исследование, вместе с предваряющим построение анализом, в ходе которого устанавливаются связи между данными и искомыми геометрическими объектами, по сути, восходят к «Началам» Евклида. Эти четыре шага составляют классическую схему решения задач на построение.

^ Подведем итог: при решении задач на построение, если не оговорено иное, используются только циркуль и линейка.

Линейка считается не имеющей делений и лишь с одним прямолинейным краем – с ее помощью, имея на плоскости две точки, A и B, можно провести прямую AB. Никаких других построений с помощью линейки делать нельзя (скажем, нельзя приложить ее к двум окружностям и провести их общую касательную).

Циркуль предназначен для единственной цели – если на плоскости заданы отрезок AB и точка O, то с помощью циркуля можно провести окружность с центром O радиуса R = AB.

Если на плоскости проведены какие-то линии (прямые и окружности), то считаются построенными все точки их пересечения. Решить задачу на построение какой-то фигуры – значит, указать конечную последовательность применений циркуля и линейки, которая приводит к построению всех точек искомой фигуры.

Схему и основные приемы решения задач на построение я рассмотрела на примерах. Я не буду останавливаться в них на некоторых простейших построениях, используемых особенно часто. Евклид привел список «самых стандартных» построений, который почти без изменений переносился в учебники планиметрии и много веков спустя, в начале своих «Начал». К этим построениям в первую очередь относятся постулированные выше простейшие построения прямой, проходящей через две данные точки, и окружности с данными центром и радиусом. Кстати, сам Евклид разрешает чертить окружность непосредственно циркулем, только если вместе с центром задана и точка на окружности. Второе Предложение «Начал» объясняет, как строить таким циркулем окружность по центру и радиусу.

Цель моей работы - рассмотреть различные методы решения задач на построение.

Задачи:

  1. Рассмотреть исторический материал по данной теме.

  2. Выделить стандартные задачи на построение.

  3. Научиться решать задачи рассмотренными методами.



1. Стандартные построения

1.1. Предложения Евклида

Первые предложения Евклидовых «Начал» представляют собой решения некоторых задач на построение. Предложение 1 совсем простое: в нем дается хорошо известное построение равностороннего треугольника с данной стороной. А вот предложение 2: от данной точки отложить прямую, равную данной прямой (напомним, что прямыми Евклид называет отрезки). Не правда ли, эта задача выглядит несколько странно? Разве нельзя просто раскрыть циркуль на расстояние, равное длине данного отрезка, и описать окружность этим радиусом с центром в данной точке? Но оказывается, такое решение Евклид не признавал. В «Началах» циркуль разрешается использовать только для проведения окружности с данным центром, проходящей через данную точку. Если же радиус окружности задан отдельным отрезком, то сначала нужно отложить его от центра, а потом уже чертить окружность, пользуясь построенной на ней точкой. Этому вспомогательному построению и посвящено предложение 2. Сопровождающий его чертеж из старинного издания «Начал» воспроизведен на рисунке 1.

Здесь AB – данный отрезок, C – данная точка, CD – построенный отрезок длины AB.

Задача 1. Восстановите построение Евклида по рисунку.1

Если эта задача решена правильно, получится построение, в котором точка D появляется после проведения шести линий (прямых и окружностей). Но есть и более экономные решения.

Задача 2. Даны отрезок AB и точка C. Постройте точку D на расстоянии CD = AB от точки C, проведя менее 6 линий и не пользуясь циркулем для переноса отрезков из одной точки в другую. Создайте инструмент, который по трем точкам строит окружность с центром в первой точке и радиусом, равным расстоянию между второй и третьей точками.

Стандартными считаются и более сложные построения – такие, как деление данного отрезка пополам или на данное число равных частей, деление данного угла пополам... Дальше хочется продолжить: …или на данное число равных частей (углов). Хотелось и грекам. Но они не смогли (с помощью только циркуля и линейки) разделить произвольный данный угол даже на три равные части – так возникла одна из трех классических задач на построение: задача трисекции угла (т.е. деления его на три равные части). В этом же списке стандартных построений, вошедшем во все школьные учебники, построение прямой, параллельной или перпендикулярной данной, построение суммы или разности данных отрезков и др.