uzluga.ru
добавить свой файл
1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ


Д.К.Андрейченко1, К.П.Андрейченко2


1Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского, Саратов, Россия

2Саратовский государственный технический университет, Саратов, Россия





Математические модели, описывающие движение современных технических систем, и представляющие собой совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и связанных с ними через граничные условия (ГУ) и условия связи (УС) уравнения в частных производных (УЧП), дополненные соответствующими начальными условиями (НУ), назовем далее комбинированными динамическими системами (КДС) [1]. На рисунке представлена структурная схема КДС с сосредоточенными входной и выходной вектор-функциями и . Схематически, уравнения движения КДС можно представить в виде

; ; ; (1)

Здесь – набор обобщенных координат и скоростей «дискретных» элементов, – набор независимых пространственных (Лагранжевых или Эйлеровых) координат, – область, занимаемая «континуальными» элементами, рассматриваемыми как сплошная среда, – совокупность полей перемещений и скоростей «континуальных» элементов, – совокупность сил и моментов сил, действующих через границы раздела со стороны «континуальных» элементов на дискретные. В уравнениях (1) – некоторая вектор-функция своих вектор-аргументов, операторы и соответствуют уравнениям движения континуальных элементов и граничным условиям, а оператор переводит поля перемещений и скоростей континуальных элементов в поверхностные силы (и моменты поверхностных сил) на границе раздела.

В работе рассмотрены вопросы линеаризации КДС в окрестности состояния равновесия. Применительно к исследованию устойчивости КДС (в частности, цилиндрического гидродинамического подвеса [2] и систем стабилизации спутников с упругими стержнями [3]), введены понятия характеристического и возмущающих квазимногочленов, а также обобщенной степени квазимногочлена. Сформулирован и доказан ряд теорем об устойчивости КДС, из которых ключевую роль играет следующая обобщающая критерий Эрмита теорема об устойчивом квазимногочлене:

Пусть квазимногочлен аналитичен при , , а – обобщенная степень квазимногочлена . Тогда, если при монотонном возрастании от 0 до вектор повернется на комплексной плоскости от положительной действительной полуоси в положительном направлении на угол , т.е. , то квазимногочлен устойчив (т.е. не имеет корней в правой комплексной полуплоскости и на мнимой оси).

Применительно к управляемым КДС, предложено обобщение метода D-разбиений для построения границ областей устойчивости в пространстве параметров обратных связей, а также алгоритм параметрического синтеза (т.е. подбора величин параметров обратных связей), обеспечивающий требуемое качество переходных процессов.

Применительно к нелинейным КДС специального типа, в которых движение «дискретных» элементов описывается нелинейными ОДУ (возможно, с запаздывающими аргументами), а движение «континуальных» элементов моделируется линейными УЧП, коэффициенты которых не зависят от времени, на основе теоремы об устойчивом квазимногочлене дано развитие метода Хилла исследования устойчивости периодических движений [4].


Список литературы:

1. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П. К теории комбинированных динамических систем// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 3. С. 54-69.

2. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П. К теории устойчивости цилиндрического гидродинамического подвеса// Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2009. №1. С. 13-26.

3. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П. К теории стабилизации спутников с упругими стержнями// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 6. С. 150-163.

4. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П. Об устойчивости предельных циклов в системах стабилизации спутников с упругими стержнями// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 5. С. 137-149.