uzluga.ru
добавить свой файл
1

ЗАВИСИМОСТЬ СЛОЖНОСТИ АВТОМАТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ОТ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ


Е. А. Хуртина

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Саратов, Россия


В работах [1,2] профессором Твердохлебовым В. А. был предложен, а в дальнейшем в работах [3-5] разработан новый способ задания инициального дискретного детерминированного автомата , где - множества состояний, входных и выходных сигналов соответственно, и - функции переходов и выходов, - начальное состояние. Автомату соответствует автоматное отображение . Символьный график автоматного отображения строится в прямоугольной декартовой системе координат с осью абсцисс и осью ординат , где - линейные порядки на множестве и , - множество всех входных последовательностей, включая пустые. Символьный график преобразуется в график с положительными целочисленными координатами, в котором каждая точка , где и преобразована в точку , где и - номера и по линейным порядкам . Линейный порядок выбирается на основе учитываемых свойств выходных сигналов, а линейный порядок определяется условиями и ограничениями, предполагаемыми для взаиморасположения на оси абсцисс последовательностей входных сигналов.[5]

Линейный порядок вводится на множестве : . Порядок на распространяется до линейного порядка : для любых слов неодинаковой длины ; для любых слов одинаковой длины их отношение по порядку повторяет отношение ближайших слева несовпадающих букв в словах и . Аналогично определяется порядок на множестве слов .

В исследовании использовался новый способ задания автоматного отображения, разработанный Твердохлебовым В. А. и основывающийся на отображении вида , на котором выполняется отношение линейного порядка : для любых и на отображении вида , где - полуинтервалы, составляющие единые полуинтервалы на оси ординат. Введем также символьные обозначения . В этом случае положение элемента на оси абсцисс определяется точно, а элементу соответствует полуинтервал. При построении автоматного отображения использовались теоремы 3.1-3.3 работы [6].

Были рассмотрены следующие вопросы:

  1. Синтез автоматного отображения по геометрической кривой, заданной аналитически. Кривая интерпретируется как закон функционирования абстрактного автомата. В исследовании выполнялось условие: оси абсцисс и ординат фиксированы и выбрано разбиение на полуинтервалы области значения кривой на оси ординат и количество полуинтервалов (равное выбранной величине );

  2. Оценка изменения поведения автоматного отображения при различных , разбиениях на полуинтервалы и различных вариантах выбора точек на оси абсцисс в установленной области определения функции, заданной геометрической кривой.

Для формализации процесса был использован метод синтеза автоматного отображения по заданной геометрической кривой, который базируется на методе из работы [5] с некоторыми изменениями. Предполагается, что геометрическая кривая второго и выше порядков располагается в любом квадранте прямоугольной декартовой системы координат. Точки кривой имеют интерпретацию в некоторой прикладной области как представители свойств, характеристик, значений параметров и т.д. [5]. Кривая может иметь самопересечения.

Этапы метода следующие:

  1. Выбор обхода кривой, имеющий интерпретацию изменения свойств, характеристик, значений параметров моделируемого объекта, процесса, события и т.п.

  2. Выбор области определения функции, заданной кривой на оси абсцисс.

  3. Выбор максимума (max) и минимума (min) функции на оси ординат.

  4. Разбиение отрезка [min;max] на полуинтервалов и 1 отрезок. Таким образом, формируется отображение . Выбор номера выбирается произвольно.

  5. Введение отображения для оси абсцисс: каждому сопоставляется номер в соответствии с выбранным линейным порядком .

  6. Выбирается прямая линия , и имеет одну или несколько общих точек пересечения с кривой . Одна из общих точек пересечения, , выбирается начальной точкой обхода.

  7. Точки, в которых в кривой одновременно пересекаются прямые, параллельные оси абсцисс и прямые, параллельные оси ординат, обозначаются в соответствии с порядком обхода кривой .

  8. Точки оси ординат, полученные пересечением прямых, параллельных оси абсцисс и проходящих через точки , обозначаются от выбранного начала координат символами , интерпретируемые как выходные сигналы автомата.

  9. По последовательности точек строится ломаная линия по правилам: 1) на оси абсцисс откладывается точек ; 2) каждой точке , оси абсцисс сопоставляется вторая координата точки кривой и определяется точка - вершина ломаной линии. Полученная последовательность точек , полагается базовой ломаной линией, определяющей геометрический образ автомата .

Для исследования была выбрана синусоида – плоская кривая, заданная уравнением , где - постоянные. Область определения функции: , область значения функции: . На кривой было выбрано 26 точек тремя вариантами значений элементов : 1 вариант - 15 точек, где , 10 точек, где , 1 точка, где ; 2 вариант – 11 точек с , 15 точек ; 3 вариант – 14 точек, где , 12 точек, где . Рассматривались значения при фиксированном множестве . Для обозначения того, что точка попала в определенный интервал, выбрано обозначение:

В результате исследования выяснилось, что геометрические образы автомата для 2 и 3 варианта точек при практически совпадают (графики сливаются либо один график сдвинут относительно другого на несколько точек). Это значит, что при любом разбиении на полуинтервалы и при любом закон функционирования автомата для 2 и 3 варианта точек существенно не изменится. Интересный результат был получен для геометрического образа при , , 1 вариант выбора точек (обозначим его ), и для геометрического образа при , , 2 вариант выбора точек (обозначим его ). В этих случаях одна точка строго принимала значение из другого интервала, и на графике образовывался единичный пик (рис.1)



Рис.1. Единичные отклонения на геометрических образах

и (график с пунктирной линией)

Была произведена оценка сложности геометрических образов и с помощью математического аппарата спектра числовых показателей, разработанного Твердохлебовым В. А. [7]. Для образа закодированная последовательность кодов имеет вид: = и уровни спектра следующие: =8, [3, 3, 3, 11, 11, 11, 11, 11, 44], [15, 11, 8, 4, 4, 3, 2, 1], [[2, 8, 4, 4, 2, 1, 2, 4, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3], [1, 8, 4, 4, 3, 4, 2, 3, 8, 2, 3],[8, 4, 4, 8, 1, 11, 2, 3],[7, 18, 10, 5],[6, 18, 10, 5], [5, 28, 5],[4, 33],[36]]. Для образа последовательность кодов имеет вид: = и уровни спектра следующие: =9, [5, 5, 5, 5, 13, 13, 13, 47, 55], [8, 8, 8, 8, 6, 5, 4, 2, 1], [[4, 8, 6, 6, 5, 8, 9, 8], [3, 8, 6, 6, 5, 8, 9, 8],[2, 8, 6, 6, 5, 8, 9, 8],[1, 8, 6, 6, 5, 8, 9, 8],[8, 6, 6, 13, 9, 8], [7, 12, 13, 9, 8],[6, 25, 9, 8],[39, 8],[46]]. Это значит, что для требуется больше информации о предыдущих участках, а значит и закон функционирования автомата сложнее, и оценка сложности выше, чем для .

Заметим, что для геометрических образов при оценка сложности меняется в зависимости от выбранного разбиения на полуинтервалы (Таблицы 1-3).

^ Таблица 1

Оценка сложности для геометрических образов при
,, ,

Вариант выбора точек

Нулевой уровень спектра

Первый уровень спектра

Второй уровень спектра







1

12

[5, 5, 5, 5, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 58]

[6, 6, 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 1]

2

12

[4, 4, 4, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 59]

[7, 7, 7, 6, 6, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 1]

3

12

[4, 4, 4, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 59]

[7, 7, 7, 6, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 1]



^ Таблица 2

Оценка сложности для геометрических образов при
,, ,

Вариант выбора точек

Нулевой уровень спектра

Первый уровень спектра

Второй уровень спектра







1

10

[5, 5, 5, 5, 13, 13, 13, 23, 23, 44]

[6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 2, 2, 1]

2

9

[3, 3, 11, 11, 11, 11, 11, 20, 46]

[7, 7, 5, 5, 5, 5, 5, 2, 1]

3

9

[9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 46]

[6, 6, 6, 6, 6, 5, 5, 2, 1]



^ Таблица 3

Оценка сложности для геометрических образов при
,, ,

Вариант выбора точек

Нулевой уровень спектра

Первый уровень спектра

Второй уровень спектра







1

9

[6, 6, 6, 6, 6, 16, 28, 30, 34]

[6, 6, 6, 6, 6, 5, 3, 2, 1]

2

8


[3, 3, 7, 14, 14, 14, 25, 34]

[7, 7, 6, 5, 4, 4, 2, 1]

3

12

[3, 3, 7, 19, 25, 25, 25, 25, 25, 33, 33, 34]

[7, 7, 6, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1]




Итак, автоматное отображение в целом чувствительно к разбиениям множества выходных сигналов на полуинтервалов и 1 отрезок и к выбранным вариантам точек по оси абсцисс. Причем, оценка сложности не зависит от размерности множества .

^ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Твердохлебов В.А. Техническое диагностирование в геометрической интерпретации задач, моделей и методов // Материалы междунар. конф. Автоматизация проектирования дискретных систем. / Белорус. гос. ун-т, Ин-т техн. кибернетики АНБ. - Минск : Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1995. - Т.1 : Тезисы докладов. - с. 97.

  2. Твердохлебов В.А. Распознавание автоматов на основе геометрической интерпретации // Проблемы теоретической кибернетики: тез. докл. XI Междунар. конф., 10-14 июня 1996 г. М.: Изд. РГГУ, 1996. - с. 85-93.

  3. Твердохлебов В.А. Геометрические образы конечных детерминированных автоматов // Изд. Сарат. ун-та. Новая серия. Сер. Математика, Механика, Информатика. - 2005. - Т.5, вып.1. - с. 141-153.

  4. Твердохлебов В.А. Методы интерполяции в техническом диагностировании. / Ж-л “Проблемы управления”.М.N2 2007.с.28-34.

  5. Твердохлебов В.А. Геометрические образы законов функционирования автоматов.-Саратов: Изд-во “Научная книга” 2008. 183 с.

  6. Безопасность критических инфраструктур: математические и инженерные методы анализа и обеспечения. Под ред. В.С. Харченко. Харьков. Изд-во Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского. (“ХАИ”). 2011г. 641 с.

  7. Резчиков А. Ф., Твердохлебов В. А. Причинно-следственные модели производственных систем. - Саратов: Изд-во “Научная книга”, 2008. - 183 с.