uzluga.ru
добавить свой файл
http://telmanaliev.az/pci2010/7.htm

INVERSE TWOPARAMETER RIGHT DEFINITENESS EIGENVALUE PROBLEMS FOR COMPACT SELFADJOINT COMMUTING OPERATORS

E.Sh.Mamedov. eldarmuellim@hotmail.com Э.Ш.Мамедов.

Azerbaijan Technological University

Азербайджанский Технологический Университет.

Пусть известно, что каждый элемент заданной последовательности является собственным значением некоторой неизвестной спектральной задачи

, (1)

где искомые компактные самосопряженные перестановочные операторы в гильбертовом пространстве . и пусть собственному значению соответствует заданный собственный элемент

, . (2)

Через обозначим линейную оболочку множества первых n- элементов последовательности т.е. множества , а замыкание линейного подпространства обозначим через . Введем обозначения

,

, .

линейные операторы, определенные на гильбертовом пространстве (тензорное произведение).

Лемма 1. Пусть множество (2) состоит из всех собственных элементов задачи (1) и в задаче (1) выполнялся условие правой определенности в виде

(3)

тогда, замыкания линейных подпространств совпадаются с пространствами соответственно, т.е. .

Доказательство. Пусть наоборот, хотя бы для одного значения индекса не выполняется равенство . Тогда хотя бы для одного значения индекса существует подпространство , которое является инвариантным для пары операторов и имеет место равенство . При этом хотя бы для одного значения индекса должно выполнятся равенства , т.е. существует такой что , следовательно А это противоречит условию (3).

Следствие. Если в задаче (1) выполняется условие правой определенности в виде (3), тогда замыкание линейного подпространства совпадает с пространством , т.е. .

Пусть есть решение -го уравнения системы (1), которое аналитически зависит от переменных . Известно, следующая теорема (см. [2]).

Теорема 1. Для того чтобы все собственные элементы , аналитически зависящие от параметров были константой относительно переменных , необходимо и достаточно, чтобы в задаче (1) операторы были перестановочными. При этом спектральные линии будет прямыми линиями.

Теорем 2. Если компактные самосопряженные перестановочные операторы в гильбертовом пространстве и элемент , аналитически зависящая от параметров , является собственным элементом -го уравнения системы (1), тогда (константа относительно ) является совместным собственным элементом каждого из операторов , и спектральная линия -го уравнения системы (1), соответствующая собственному элементу , имеет вид , где некоторые собственные значения операторов соответственно.

Доказательство. Пусть есть собственный элемент -го уравнения системы (1) и согласно теоремы 1 этому собственному элементу соответствует некоторая спектральная линия в виде

(5)

Учитывая равенств (5) в системе уравнений (1), получаем

(6)

Равенство (6) верно для любого значения параметра . Здесь элементы не зависят от параметра и следовательно, для любого равенства (6) являются верными тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются равенства , или . Итак доказано, что коэффициенты в уравнении (5) являются собственными значениями операторов соответствующее совместному собственному элементу . Теорема доказана.

Легко можно увидеть, что если множество является ортонормированным базисом пространства , состоящие из всех совместных собственных элемент компактных самосопряженных операторов , тогда всевозможные разложимые тензоры вида , является собственным элементом задачи (1), соответствующие собственным значениям , где

, , (7)

и наоборот, произвольный собственный элемент задачи (1) является разложимым тензором , где есть совместный собственный элемент операторов , т.е. если известно все собственные значения перестановочных операторов , тогда собственные значения задачи (1) находятся с помощью равенств (7).

Теперь можно сформулировать теорему, которая отвечает на поставленный вопрос об обратной задаче.

Теорема 3. Пусть выполняются следующие три условия:

1) есть последовательность собственных элементов некоторой двухпараметрической задачи (1)

2) есть последовательность соответствующих собственных элемент задачи (1)

3) имеет место равенство ,

тогда существует такая подпоследовательность , что , является полной системой совместных собственных элементов некоторых перестановочных компактных операторов , где

, ,

, ,

и есть собственные значения задачи (1) соответствующие трем соседним собственным элементам , , соответственно.

Здесь есть оператор проектирование на одномерное подпространство ,

Доказательство. Всевозможные тензорные произведения в виде являются собственными элементами задачи (1). Из последовательности выберем подпоследовательность следующим образом:

а) , т.е.

в) где .

Собственные значения соответствующие собственным элементам обозначим через . А собственные значения соответствующие собственным элементам и обозначим через и соответственно. Каждому собственному элементу , -го уравнения системы (1) соответствует одна спектральная линия в виде ,. Следовательно каждому собственному элементу системы (1) соответствует пара спектральных линий и . Пересечение прямых линий и будет , а пересечение прямых линий и будет (см. рис. 1).



Рис. 1


Тогда имеет место следущие равенства



Из последних систем уравнений получаем

, ,

,

Следовательно для компактных самосопряженны операторов имеют место следующие разложения:

, ,

, ,

где есть оператор проектирование на одномерное подпространство , . Теорема доказано.

Пользуясь вышеуказанных лемм и теорем можно сформулироваь следующую теорему которая отвечает на поставленный вопрос об обратной задаче при условии (3).


ЛИТЕРАТУРА

1. Г.А.Исаев «Введение в обшую многопараметрическую спектральную теорию» В кн.: Спектральная теория операторов, вып. 3, с. 142—201. Баку: Элм, 1980. ...

2. Э.Ш.Мамедов «О спектре двухпараметрической задачи с компактными самосопряженными операторами». Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Баку-1992.