uzluga.ru
добавить свой файл
ЭЦП НА ОСНОВЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ НАД ПОЛЕМ .

А.А. Григор, В.Г. Скобелев

Донецкий национальный университет, ИПММ НАН Украины, Донецк, Украина


На протяжении последнего десятилетия одним из перспективных направлений является реализация электронная цифровая подпись (ЭЦП) на основе эллиптических кривых над полем ( – простое число). Сказанное подтверждается тем, что стандарты ЭЦП на основе эллиптических кривых над полем в настоящее время приняты во многих странах мира (в США и Западной Европе – ECDSA, в России – ГОСТ Р 34.10-2001). Однако, стоит отметить тот факт, что в стандартах ECDSA и ГОСТ Р 34.10-2001 используются эллиптические кривые над простым полем Галуа, а в стандарте ДСТУ 4145-2002 – над расширенным полем Галуа.

Эллиптической кривой над полем называется гладкая кривая, определяемая уравнением

, (1)

где , , и содержащая кроме того бесконечно удаленную точку, обозначаемую .

Если характеристика поля больше 3, тогда уравнение (1) можно привести к виду

: . (4)

Параметрами кривой являются дискриминант и инвариант .

Если инвариант эллиптической кривой известен, то коэффициенты и эллиптической кривой определяются в соответствии с равенствами:



где при .

Теорема 1. Пара алгоритмов 3 и 4 – корректная.

Теорема 2. Если случайное число , используемое в предложенном алгоритме формирования ЭЦП, будет вычислимым (предсказуемым) или повторится в течении срока действия открытого ключа, то секретный ключ создания подписи может быть вскрыт.

В работе был разработан и предложен алгоритм формирования и проверки ЭЦП на основе эллиптических кривых над полем , доказана его корректность и дано обоснование сложности. Также была построена программная реализация алгоритма, с помощью которой были получены прикладные результаты: зависимость времени формирования и времени проверки ЭЦП от размеров подписываемого сообщения.

ЛИТЕРАТУРА.

  1. Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. – М.: Мир, 1988. – 320 с.

  2. Молдовян Н. А., Молдовян А. А., Еремеев М. А. криптография: от примитивов к синтезу алгоритмов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 448 с.

  3. Болотов А. А., Гашков С. Б. Алгоритмические основы эллиптической криптографии. – М.: МЭИ, 2000. – 100 с.

  4. Ленг С. Эллиптические функции. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. – 312 с.