uzluga.ru
добавить свой файл
1 2 3

Численные решения и инженерные подходы в проектировании и построении вычислительных экспериментов в гидромеханике
УДК: 519.67


А. В. Масолов1, В. Н. Храмушин2, С. А. Шкичев3, г. Южно-Сахалинск

В работе анализируются различные математические модели для пространственного представления геометрических объектов и операций, сопоставляются особенности их практического использования как при реализации прикладных задач физической теории поля, так и для визуализации пространственных объектов и процессов на графическом экране ЭВМ. Следуя принципам непротиворечивого проектирования эффективных компьютерных алгоритмов, в работе представляются новые математические модели для решения прикладных задач трехмерной механики сплошных сред, а также производится обзор средств для создания вычислительного комплекса.

Numerical methods and engineering approach in design and structure of computational experiments in hydromechanics. Alexey V. Masolov, Sakhalin Energy Investment Company, LTD.; Sergey A. Shkichev, Vasily N. Khramushin, Sakhalin State University.

Various mathematical models for spatial representation of geometrical objects and operations are analyzed in this research. Their features of practical usage are compared in realization of applied problems of the physical theory of a field, and in visualization of spatial objects and processes for computer graphics representation. Following the principles of consistent designing of effective computer algorithms, new mathematical models for decision making in three-dimensional mechanics of solid environments are presented in the research as well as the review of technical solutions for development of computing aided engineering application.

Введение


Современная аналитическая геометрия и физическая теория поля используют самые разнообразные методы представления элементарных трехмерных объектов и их пространственного позиционирования, что связывается с особенностями используемых математических моделей и методов постановки прикладных численных задач, а также зависит от приверженности исследователей к конкретной научно-инженерной школе или, что стало особо значимым в последние годы, от избрания базового пакета стандартных математических алгоритмов.

В современной математике, опирающейся на большие информационные массивы и численные методы прямого моделирования физических процессов, важное место занимает визуализация процессов подготовки исходных данных и наглядного представления результатов вычислительных экспериментов, при котором многомерные зависимости анализируются на экране компьютера. Такой анализ всегда связан с геометрическими построениями сложных объектов и физических полей в трехмерном пространстве с использованием плоской компьютерной графики. Научная визуализация – самостоятельное математическое исследование, посвященное созданию графических образов, в максимально информативной форме воспроизводящих значимые аспекты исследуемого процесса или явления, что является необходимым условием контроля корректности вычислений и составляет основу для понимания моделируемых процессов.

Таким образом формулируется постановка задачи об универсальности компьютерных алгоритмов, позволяющих единообразно определять числовые объекты в памяти цифровой дискретной ЭВМ и связанные с ними вычислительные операции, с помощью которых должны строго определяться все физические законы, а также сопутствующие геометрические и экстраполяционные процедуры, используемые при визуальном анализе расчетных физических полей и особенностей их трансформации при проведении прямых вычислительных экспериментов.

Постановка и актуальность проблемы


Тензоры как элементарные числовые структуры представляются в качестве числовых матриц, однозначно определяющих операции для линейных преобразований координат в многомерных пространствах.

Математический анализ и обоснование проблемы

Термин «тензор» происходит от английского «tension» – напряжение. Исторически тензорный вычислительный аппарат связан с теорией упругости для описания напряженного состояния элементарного объема и задает линейные зависимости деформаций T от внешних сил T  с помощью инвариантов реологического состояния вещества.

;
где: – нормальные напряжения и  – касательные напряжения имеют размерность давления [Н/м2];   – осевая деформация и  – сдвиг условно безразмерны. Если при постановке физических задач исходными являются напряжения T на всей поверхности тела, то такие граничные условия называются статическими. Если изначально определяются только смещения Tкинематическими, иначе граничные условия являются смешанными.

В изотропной упругой среде компоненты тензоров напряжений и деформаций связываются энергетическими условиями совместимости в единой абсолютной системе отчета и в обобщенной форме Ламе могут быть сведены к привычным определениям закона Гука в кинематической записи:

x = ·(x+y+z) + 2·x; xy = ·xy,

где и – инвариантные реологические постоянные объемной и сдвиговой упругости Гука, имеющие физические размерности давления [H/м2].

С учетом малости деформаций тензоры T и T могут использоваться в теореме Коши-Гельмгольца, интерпретирующей поворот контрольного объема как антисимметричную часть тензора, чистую деформацию – как его симметричную составляющую, а след тензора (сумму диагональных элементов) – как равнообъемное сжатие/расширение.

Фундаментальным свойством симметричного тензора чистых деформаций является возможность его ортогонализации, при которой собственные значения матрицы зададут нормальные напряжения или осевые деформации соответственно, а построенные с их помощью собственные векторы определят главные направления действия.

Определенные таким образом тензорные объекты, аддитивные операции с ними и сопутствующие физические интерпретации законов сплошной среды составляют суть математической дисциплины, называемой – тензорное исчисление. Аддитивность физических законов и суперпозиция математических операций лежат в основе тензорного анализа, искусственно вовлекающего в механику сплошных сред теоремы современного дифференциального и интегрального исчисления функции скалярного аргумента.

Актуальность настоящего исследования обосновывается необходимостью поиска универсального вычислительного аппарата без искусственных допущений о малости смещений и деформаций, что важно для прямого моделирования нестационарных процессов гидромеханики, не допускающих ни безразмерных нормировок, ни суперпозиции физических процессов.

Основные действия и операции с пространственными объектами

Формальные операции, связанные с построением и анализом векторов и базисных тензоров, назовем алгоритмическими действиями логического или функционального уровня. В вычислительной математике такие операции должны соответствовать законам гидромеханики, однозначно транслируемым на алгоритмические правила (операции с данными – «существительными») и функциональные зависимости (взаимодействие процедур – «глаголов»), в полной мере учитывающих особенности специализированных языков программирования. Логический уровень – это синтез векторных и тензорных операций современной аналитической геометрии, включающих операции с поверхностями, проекциями тензорных компонент и собственными значениями матриц, линейно связывающими физические инварианты с реологическими параметрами сплошной среды. Построение вычислительных объектов определяется конкретными требованиями инженерной задачи и глубиной внутренней трансформации физических процессов, моделируемых в рамках гибридных численных схем или функционального программирования – искусственного интеллекта.

Действиями аналитического или первого уровня назовем все операции сложения и адиттивные процессы, заданные строго в одном и том же координатном базисе, при условии одинаковых физических размерностей слагаемых. Аналогичные условия суммирования применяются к тензорным и векторным объектам, эти же требования относятся к скалярным слагаемым и условиям применимости дифференциального, интегрального и тензорного исчисления или анализа.

Математическими действиями второго уровня будем называть операции произведения векторных и тензорных вычислительных объектов.

В произведении прямо или косвенно участвуют базисы формы элементарных пространственных объектов r , через которые физический смысл сомножителей строго ограничивается понятием покомпонентных проекций в дуальных системах отсчета, участвующих в операциях взаимных перерасчетов в локальных базисах и глобальных координатах. Это означает формальный запрет повышения ранга или выхолащивания тензорных величин в операциях произведения, так как синтез или покомпонентный анализ числовых и физических объектов должен выполняться на логическом, функциональном уровне построения вычислительных моделей.

Кинематические операции и неотделимые от них законы гидромеханики относятся к третьему синтетическому уровню математических действий. Изначальная установка на реализацию явных численных схем означает описание вычислительных процессов индивидуально для каждого элементарного объекта, крупной частицы – конечного объема жидкости.

Координаты точки a переходят в абсолютную систему отсчета при сложении вектора местоположения R и произведения локального вектора a с тензором его базиса r в абсолютной системе отсчета:

A = R + a·r, [м]

где вектор a, изменяющий свою систему координат, стоит в произведении слева.

Физические размерности всех числовых объектов определены в абсолютной системе координат. Размерность базисного тензора локальной системы отсчета r : [м3]. Это означает, что все величины, заданные внутри локального базиса, должны представляться как распределенные по его объему. Локальный вектор a будет иметь размерность [м/м3] или [м-2], что предполагает такой вектор не традиционным геометрическим объектом, а скорее особой точкой некоторого поляризованного поля (диполем), определяемого интенсивностью и направлением вектора a.

Отметим, что малые перемещения во времени и пространстве исторически определялись с помощью исчисления флюксий, лежащих в основах механики Ньютона в качестве изначально разностного описания движения в пространстве и во времени. Для кинематической задачи в качестве флюксий выступает скорость, которая образует разностный дифференциал (по Ньютону – момент) в произведении с расчетным шагом во времени t или просто – t. Для точки, вмороженной в жидкость, кинематическое уравнение может быть представлено в качестве дифференциала (момента) скоростей движения и времени в абсолютной и внутри локальной систем координат.

+A = R+V·t + a·( r+v·t ) = 0A + ( V+v )·t,

где: t – расчетный интервал времени; a – координаты контрольной точки в локальной системе отсчета; +А и 0А – новое и исходное положение контрольной точки в абсолютной системе координат; R – местоположение локального базиса в абсолютной системе координат; V – скорость поступательного смещения локального базиса – крупной частицы жидкости; r – тензор формы крупной частицы жидкости; v – тензор скоростей локальных движений базисных осей тензора, определяющий деформацию крупной частицы жидкости. Исчисление флюксий Ньютона, в отличие от анализа бесконечно малых, естественным образом формализует внутреннее состояние корпускул (по Ньютону) в рамках тензорной вычислительной арифметики.

Приращение координат внутреннего вектора a, как дифференциала скорости перемещения среды внутри крупной частицы жидкости ·t в точке a, приводит кинематическое выражение ко второму порядку по времени, вводя определение внутренних динамических процессов для среды условно единичной плотности, отражаемых в глобальном базисе как инерция:

+A = R+V·t +a·( r+v·t ) +·( r+v·t )·t.

Согласно исчислению флюксий, опустим не изменяющуюся часть кинематического уравнения и разделим результат на малый параметр t для приведения уравнения к величине скорости движения:

+V  =   0V +  v ·a +  r· + v · ·t.

После приведения локальных векторов к абсолютной системе отсчета выпал сомножитель с базисным тензором, так как:  r · r =1:

+V  =   0V +  +  v ·a + v ··t. [м/с]

Получается разложение вектора движения в абсолютной системе координат на составляющие: скорости полного потока V; скорости внутреннего смещения ; конвективной скорости  v ·a и некоторого приращения локальной скорости v ··t, зависящего от скорости течений внутри крупной частицы жидкости. Заметим, что в исчислении флюксий Ньютона последнее слагаемое, содержащее малый множитель t , можно опускать, но не будем спешить с потерей локальных течений и внутренней энергии крупной частицы жидкости.

Естественным решением проблемы учета внутренних течений, проявляющихся в виде реакции (инерции) внутренней кинетической энергии, является использование своеобразного логического тензора плотности , определенного внутри локального базиса r с физическими размерностями распределенной массы [кг/м3]. Первое проецирование (пространственное интегрирование) для приведения компонент тензора плотности к абсолютной системе координат превращает его в тензор м, ассоциируемый с инерционной массой [кг] элементарной частицы жидкости, определяющей особую внутреннюю энергию движения в обобщенной тензорной модели крупной частицы жидкости:

м  =  ·r· = мij , [кг]

где тензор формы r трансформировался для нормализации (исключения пространственного масштаба) внутренней кинетической энергии частицы жидкости, связав ее с текущей инерционной (активной или тензорной) массой для конкретной элементарной частицы жидкости м.

При таком определении тензора м  он представляется особым поляризованным механическим объектом, совмещенным с текущим тензором формы крупной частицы жидкости и задающим своеобразный замкнутый (дипольный) поток внутри крупной частицы жидкости. Свойства внутреннего течения зависят от предыстории движения независимой частицы жидкости в несвободном пространстве. Тогда, в рамках теоремы о живых силах: изменение энергии внутреннего потока должно проявляться вне частицы в виде работы внешних сил или сил инерции. Анализ движения в рамках исчисление флюксий подтверждает, что в данном случае внешним силам противопоставляется инерционная реакция, обусловленная необходимостью изменения внутренней кинетической энергии элементарных частиц жидкости.

Обратный тензор   , определенный теперь в проекциях абсолютной системы координат, получит физическую размерность [м3/кг]. Расположим трансформируемый тензор формы частицы в произведении справа от тензора плотности:

м =  · r = мj. [кг-1]

По аналогии вводится тензор внешних напряжений, действующий на границах элементарной частицы жидкости: f [Н·м2] и способный погасить (скомпенсировать) проявление внутренних живых сил инерционного тензора массы м.

Векторная сила F· будет определяться в качестве массовой силы, равномерно распределенной и действующей на весь объем элементарной частицы жидкости, силой – способной скомпенсировать дипольные проявления саморазгона элементарной частицы жидкости и погасить силовые воздействия присоединенных вихревых потоков и реакций Жуковского.

Дифференциал закона движения Ньютона в виде приращения скорости течения:

+V = 0V +м·F·t.

Запишем уравнение движения в привычной форме динамики твердого тела м [кг-1] с учетом деформации под действием внешних распределенных: f [Н·м2, кг·м32] и массовых: F· [Н, кг·м/с2] сил:

+A = R+V·t + м·F·t2/2+( r+v·t+м·f t2/2 )·a.

Полученное выражение содержит традиционную систему дифференциальных уравнений Эйлера, дополненную деформацией крупной частицы жидкости под действием напряжений на ее границах.

Сопоставим это уравнение движения с ранее полученным чисто кинематическим выражением:

+A = R + V·t + ( r+v·t )·a + ( r+v·t )··t,

что, после их взаимного вычитания, позволит выделить соответствие сил и кинематических параметров уравнения движения в обобщенной форме Ньютона – Эйлера:

F+ ·a )·м·t/2 = ( r+v·t )· [м/с]

или, после приведения векторов к абсолютному базису:

F+ f )·м·t/2 =·+·t. [м/с]

Формально это означает, что внешние силы и поверхностные напряжения могут быть скомпенсированы приращением скоростей замкнутых внутри крупной частицы жидкости течений.

При построении вычислительного эксперимента в гидромеханике с использованием методов разделения решений по физическим процессам можно на одном из этапов рассматривать автономное движение жидких поляризованных корпускул в невозмущенной среде, оставляя на последующие этапы согласование количества движения и живых сил, условий сохранения массы и энергии.

По ранее сделанному определению:

 = м·r [м3/кг];            f = f·r [кг/с2, Н/м]

Подставляя тензор r вместо вектора a , и заменив вектор скорости внутреннего течения соответствующим тензором , получим:

 ·f ·t/2 = ( 1+v·t )· . [м3/c]

Новая зависимость устанавливает линейный закон между внешними напряжениями и приращениями локальных скоростей внутри элементарной частицы жидкости, что соответствует определению теоремы о «живых силах» как о работе внешних сил для изменения кинетической энергии внутри частицы жидкости.

Придавая тензору локальных скоростей физических смысл изменения поля скорости в окрестности крупной частицы жидкости во времени, будет получен тензор обобщенных напряжений:

f= ·v / t . [кг/с2, Н/м]

По аналогии с соблюдением физических размерностей можно доопределить тензор напряжений, вызываемых вязкостью и упругостью сплошной среды в окрестности элементарной крупной частицы:

fН= ·vН /  ;  : [кг/м/с, Н·c/м2]

fГ=c ·vГ ·t /  , c : [кг/м/с2, Н·м2]

где: – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения); c – модуль сдвига; – отстояние (рычаг) для момента сил.

Для сохранения традиционных физических размерностей в определение тензоров напряжений добавлен делитель на характерный линейный размер: , переводящий коэффициенты к величине силы, а в законе Гука скорость приведена к смещению за интервал времени t.

Вычислительная модель на основе тензорной математики определяет все законы движения и деформации элементарных частиц жидкости с помощью базовых арифметических операций, имеющих характер исключительно линейных аппроксимаций для кинематических расчетов движения в поле внешних сил, строго учитывающих внутренние трансформации и энергетические силовые реакции при моделировании силовых воздействий.


следующая страница >>