uzluga.ru
добавить свой файл
1
Занятия 1. Тема: «Элементарные функции, их основные свойства, графики».

Рассматриваемые вопросы.

  1. Развитие понятия функции.

  2. Основные свойства функции.

  3. Определение функции и графика функции.

  4. Область определения и область значений функции.

  5. Нули функции.

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных тем школьного курса. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело с все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Целью изучения элективного курса «Учимся строить графики» является систематизирование своих знаний о функциях, как важнейшей математической модели, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, построением их графиков.

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.

Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли : «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя его. Правда, он не всегда придерживался вышеуказанного определения. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки».

В «Дифференциальном исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.

Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции.

Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта - функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.

Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, так как никогда не закончится и эволюция математики в целом.

В окружающей нас жизни нет явлений или обстоятельств, которые не зависели бы от каких-либо причин их вызывающих, от других обстоятельств, от условий и т.д. Настроение зависит от самочувствия, количество солнечных дней в неделе — от времени года, рост ребенка — oт возpаcтa, путь — от времени и скорости, цена за товар — от его количества и качества, высота дома — от числа этажей, скорость автобуса — от дорожных условий, усталость — от количества проделанной работы и т.д.

Попытка использовать взаимосвязь явлений и обстоятельств в своих интересах побудила людей к изучению таких взаимосвязей, к их достаточно точному описанию. Точность описания основана обычно на использовании количественных характеристик и параметров или, как говорят, величин. Связь между величинами стараются представить в виде точных равенств: s = vt и другие формулы в физике, алгебре, геометрии и т. д. Любая связь, описанная точным равенством, определяет взаимную зависимость величин, Не всегда связь можно записать, например — возраст и рост ребенка. Но достаточно типичны связи, когда изменение одной из величин неизбежно влечет изменение другой. Такие связи называют функциональными. В бытовом смысле они удобны для прогнозирования, исследования и т.д. Если давление атмосферы резко упало — жди ухудшения погоды, если в баке автомобиля нет бензина - никуда не уедешь.

Наиболее удобными для анализа являются зависимости между двумя величинами, хотя в естественных ситуациях, как правило, в описании какого-либо закона или явления участвует большее количество величин. Обычно в таких случаях выбирают две наиболее интересные и важные в данном случае характеристики, а остальные временно фиксируют, называя их параметрами, а выбранные величины — переменными. Термин «переменная величина» означает лишь, что в проводимых исследованиях этой величине (в отличие от параметров) разрешено принимать разные значения. Одну из выбранных величин, как правило, более просто определяемую или вычисляемую, объявляют независимой (ее называют независимой переменной или аргументом), а другую зависимой (ее называют зависимой переменной). Если окажется, что в условиях рассматриваемой связи каждому допустимому значению независимой переменной величины соответствует только одно значение зависимой, то связь называют функциональной, а зависимую переменную — функцией от независимой.

Таким образом, функция - это функциональная зависимость и более ничего.

Пример. Автомобиль равномерно движется по прямолинейному шоссе с 12 до 14 ч со скоростью 60 км/ч. Путь S автомобиля, пройденный за t ч после полудня, равен 60 t км, таким образом S = 60 ∙ t км. Здесь можно считать, что независимой переменной является время t, которое изменяется от 0 до 2 ч, а зависимой переменной или функцией является расстояние S, выраженное в км. Имеем при t = 0,5 ч, S =30 км, при t =1,1 ч, S = 66 км и т.д. Очевидно, что S изменяется от 0 до 120 км. При математическом описании функции S = 60 ∙ t км отвлекаются от конкретных единиц измерения и считают, что независимая переменная t принимает числовые значения из промежутка [0; 2], функция принимает числовые значения из промежутка [0; 120].

Функция не зависит от обозначений переменных.

Определение 1. Правило (соответствие, закон), по которому для каждого значения переменной (аргумента) из заданного числового множества получаем определенное числовое значение, называется функцией.

Часто функции обозначают буквами у, g, h, n т.д., некоторые функции имеют собственные имена sin х, cos х, tg х, ctg х, sgn х.

Определение 2. Множество чисел, на котором задана функция, называют областью определения функции.

Будем обозначать область определения функции f через D(f). Другими словами, D(f) - это множество всех значений аргумента х, для каждого из которых определено значение функции f (х).

Определение 3. Множество всех значений функции называется областью значений функции.

Область значений функции f обозначается через E(f). Другими словами, E(f) - это множество всех значений из области определения D(f).

Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).

Функцию можно задать следующими способами: аналитический, табличный, графический, описательным.

Аналитический – с помощью формул.

Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.







Заметим, что дискретно заданные функции часто изображаются графически не в виде набора точек, а в виде набора столбиков-ординат, поскольку набор последовательно расположенных вертикальных отрезков-ординат визуально более красноречив, чем набор точек. Подобные столбчатые схемы зависимости иногда в смежных с математикой науках называют гистограммами.



Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.

Пример 1. Найти область определения функции y= x2-5x, D(y) = R

Ответ: D(y) = (- ∞; +∞).

Одним из понятий для исследования функции является нули функции.

Нули функцииэто точки, в которых функция принимает значение нуля.

Пример 2. Найти нули функции y = x2- 5x.

y = x2-5x

D(y) = R

По определению :

y = 0, тогда

x2-5x=0,

x(x-5)=0,

x=0 или x=5 Нулями функции являются точки x=0 и х=5.

Ответ: 0; 5.

Пример 3. Найти нули функции y=4x-8

y=4x-8

D(y)=R

По определению:

у=0, тогда

4х-8=0

4x=8

x=2 Нулями этой функции является точка х=2.

Ответ: 2.

Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции).

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 4. Определить вид функции y=x4-2x2+2.

y=x4-2x2+2, D(y)=R.

y(-x)=(-x)4-2(-x)2+2=x4-2x2+2=y(x) – четная.

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 5. Определить вид функции y=3x+1/3x.

y=3x+1/3x

y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – нечетная.

Пример 6.

Функция четная. Функция нечетная.




Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции.

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х21 , выполнено неравенство f(x2)>f(x1).

Функция f убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х21 , выполнено неравенство f(x2)<f(x1).

Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (xmin) и максимума (xmax).

Точка х0 называется точкой максимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x0).

Точка х0 называется точкой минимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)≥ f(x0).

Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума.



Пример 10.

Найти промежутки возрастания и убывания функции.

y=x2+2x, D(y)=R

x2+2x = 0,

х = 0, т.е. х = - 2

Построим схематично график функции y=x2+2x


y(-1)=1-2= -1, (-1;-1) – вершина параболы.

Функция возрастает на [-1;+∞) и убывает на (-∞;-1].


Общая схема исследования функций.

Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования:

  1. D(y) – область определения (область изменения переменной х)

  2. E(y) – область значения х (область изменения переменной у)

  3. Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.

  4. Точки пересечения графика функции с осями Ох и Оу (по возможности).

  5. Промежутки знакопостоянства:

а) функция принимает положительное значение : f(x)>0

б) отрицательное значение : f(x)<0.

  1. Промежутки монотонности функции:

а) возрастания;

б) убывания;

в) постоянства ( f=const).

  1. Дополнительные точки.

Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции.

Определение монотонности функции на интервале Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х1 и х2 этого интервала из условия х12 следует, что f(x1)<f(x2). Если же из условия х12 следует, что f(x1)>f(x2), то функция называется убывающей на этом интервале.

Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.

Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Пройдя этот курс можно систематизировать свои навыки, пополнить свой запас знаний об этой теме.

Я хочу посоветовать всем глубже изучить эту тему.

Домашнее задание. Прислать домашнее задание через неделю Хованской Л.А.на электронный адрес школы. Часть А – ответы, Часть В иС ход решения.

c:\documents and settings\user\local settings\temporary internet files\content.word\scan-100215-0002.jpg


c:\documents and settings\user\local settings\temporary internet files\content.word\scan-100215-0003.jpg


Список литературы.


  1. Глейзер, Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1983.

  2. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888.

  3. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1974.

  4. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980.