uzluga.ru
добавить свой файл

УДК 51(06) Проблемы современной математики

Н.А. КУДРЯШОВ, А.В. МИГИТА

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)


СИМВОЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ПОИСКА ТОЧНЫХ

РЕШЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ


В работе представлен символьный алгоритм поиска точных решений нелинейный дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на методе простейших уравнений. Алгоритм реализован в системе вычислений Maple.


Решения нелинейных дифференциальных уравнений в виде бегущей волны очень часто можно представить в виде полиномов от гиперболических или эллиптических функций. Точные решения такого вида встречаются в динамике жидкостей, физике плазмы, эластичных средах, при описании химических реакций и т.д. Соответственно, был развит набор методов поиска таких точных решений, получивших названия tanh-, sech-, cn-, sn- методы, по названиям функций в виде полинома от которых искалось решение. Однако, в недавнее время был развит метод простейших уравнений, обобщающий все выше перечисленные [1]. В этом методе решение ищется в виде полинома (или рациональной функции) по функциям, являющихся решениями некоторого «простейшего» уравнения с известными свойствами.

Пусть имеется нелинейное ОДУ:

.

Тогда можно попытаться искать решения в виде полинома от решения простейшего уравнения:

.

Примерами простейших уравнений могут служить уравнение Риккати, уравнение для эллиптических функций Якоби, или для функции Вейерштрасса.



Зная порядки сингулярности решений исследуемого и простейшего уравнений, можно представить решение исходного уравнения в виде

,

где F – полином, или, может быть, более сложная функция. Например, если в качестве простейшего уравнения выбрано уравнение Риккати, то F можно взять в виде:

.

Подставляя это выражение в исходное уравнение и учитывая связи между Y и производными Y, которые накладывает простейшее уравнение, получаем алгебраическую систему на коэффициенты и параметры простейшего уравнения, если такие имеются. Решив эту систему, получаем точное решение исследуемого нелинейного ОДУ.

Как видно, метод обобщает все вышеперечисленные методы поиска точных решений и хорошо алгоритмизуется. Программный пакет, реализующий метод был разработан для системы символьных вычислений Maple. Первый шаг метода – определение сингулярностей исходного и простейшего уравнений является частью уже решенной более общей задачи Пенлеве – анализа нелинейного ОДУ [2, 3]. При этом выбор простейшего уравнения определяется пользователем. Далее, исходя из полученных данных, программа строит полином , однако пользователь может задать F явно, в тех случаях, когда это необходимо. Результатом работы программы является явно заданная Y(z) (в тех случаях, когда возможно ее отыскать), функция и несколько найденных наборов коэффициентов и параметров простейшего уравнения. Этими данными точное решение задается явно и однозначно.


Список литературы


  1. Kudryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations. // Chaos, Solitons and Fractals 24 (2005) 1217-1231.

  2. Xu G Q, Li Z B, Symbolic Computation of the Painleve Test for Nonlinear Partial Differential Equations, Appl. Math. Comp, 169 (2005), 1364-1379.

  3. Hereman W., Zhang W., Symbolic software for soliton theory, Acta Appl. Math., 39 (1995), 316-378.




ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7