uzluga.ru
добавить свой файл



Проект на тему

«СОРАЗМЕРНОСТЬ

или

ВНОВЬ О ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ»


Ученицы МОУСОШ №2:

Лошкарева Ульяна,

Гатауллина Эльвира

Руководитель: Гатауллина Фаузия Габдрауфовна, учитель математики МОУСОШ №2


Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них – теорема Пифагора, другое-

деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

И. Кеплер


1.Литературный обзор

1.1.Золотое сечение и числа Фибоначчи

Отрезок можно разделить на две части бесконечным множеством способов. В частности, можно разделить так, чтобы отношение всего отрезка к его большей части, равнялось отношению большей части к меньшей.

Пусть длина некоторого отрезка равна а, длина его большей части равна х, тогда а - х - длина меньшей части отрезка. Составим отношение согласно приведенному выше определению: а/х =х/(а - х) такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

В пропорции, как известно произведение крайних членов равно произведение средних, поэтому от пропорции а/х = х/(а-х) перейдем к равенству а(а - х) = х. Отсюда получаем квадратное уравнение х+ ах - а= 0.Длина отрезка х выражается положительным числом, поэтому из двух корней следует выбрать положительный: х = (-а +)/2,или х = ( - 1/2) ∙ 2. Число обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого это число встречается многократно. Число иррациональное, с восьмью десятичными знаками, 0.61803398… Но в практике пользуются числом , взятым с точностью или до тысячных 0.618, или до сотых 0.61, или до десятых 0.6.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему (рис.1).

a : b = b : c или с : b = b : а.



Рисунок 1. Деление отрезка в среднем и крайнем отношении


Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто исполь­зовалось в искусстве, встречается оно и в живой природе, что дало повод математику XVI в., другу известного художника Леонардо да Винчи монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божест­венной, великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции он употреблял много хвалебных слов, но в истории утвердились два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится (Таб. 1).


Таблица 1. Ряд Фибоначчи

Месяцы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

и т.д.

Пары кроликов

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

и т.д.


Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д..

Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: например, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...


1.2.Золотое сечение в музыке

Трудно найти человека, не знающего, что такое скрипка. Создать любой музыкальный инструмент непросто, но почему - то именно о скрипке рассказывают множество легенд, что из этого, правда, что вымысел – сказать трудно, но точно можно сказать, что изготовление хорошей скрипки – большое искусство. В этом искусстве выдающихся успехов достигли Антонио Страдивари, Амати, Гварнери, и по сей день звучание их инструментов является образцом, превзойти который не удалось еще никому.

Можно предположить, что такое звучание происходит благодаря закону золотого сечения, которое лежит в построение скрипке Антонио Страдивари (рис. 3).

Размеры этой скрипки указаны в таблице 2.


Таблица 2. Размеры скрипки Страдивари

Длина корпуса

355 мм


Ширина верхнего овала

167,5 мм


Ширина нижнего овала

207 мм


Ширина средней части

109 мм





Рисунок 3. Скрипка Страдивари с точки зрения «золотого сечения»


Но на основе золотого сечения построена не только скрипка Антонио Страдивари, но и многие произведения талантливых и выдающихся композиторов. Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято искусствоведом Л.Сабанеевым. Еще в 1925 году он, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения (Сабанеев Л.Л., Воспоминания о России, - М., 2004 – 316с.). По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. У Аренского, Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена и Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.  

Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Э.К.Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке (Титов Елена.http://goldsech.narod.ru/mus.html). Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» И.С.Баха, ученый пришел к выводу, что «она, оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона - закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения». Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого. Весь огромный звукоряд делится на три основные регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения. Небосвод Вселенной разделен тоже на 88 секторов, которые в свою очередь распределены между 12 уровнями - от низшего к высшему. Каждому уровню соответствует свой знак Зодиака. Таким образом, существует неразрывная связь космоса с музыкальной системой. И в ней отражаются извечные нерушимые законы мироздания. Пифагор писал о гармонии, музыке трех сфер - звезд (включая планеты), Луны и Солнца, которые соотносились с тремя музыкальными интервалами: квартой (3:4), квинтой (2:3) и октавой (1:2). Они-то и легли в основу настройки четырех струн орфеевой лиры до-фа-сольдо. Особенно пифагорейцы чтили число 10 - сумму первых натуральных чисел 1, 2, 3 и 4, которые графически представлялись с помощью точек магического (равнобедренного) треугольника - символа, на котором приносилась их клятва.
В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л.Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения (Елена Титова.http://goldsech.narod.ru/mus.html). По мнению Л.Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико. Их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.
Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии.
Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер. По мнению Л.Мазеля, это входило в намерения авторов, например, при сочинении скерцо, рондообразных финалов(Елена Титова.http://goldsech.narod.ru/mus.html).


1.3.Ритмы стихосложения и золотое сечение

Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

Переходя к примерам золотого сечения в литературе, нельзя не остановить своего внимания на творчестве замечательных и талантливых русских поэтов: А.С.Пушкина и М.Ю.Лермонтова. Начнем с величины стихотворения, то есть количества строк в нем. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось это не так. Н.Васютинский (Н.А.Васютинский. Золотая пропорция, - М.,1990 – 365с.) провел анализ стихотворения А.С.Пушкина и показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно, оказалось, что поэт явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).

Последние исследования показали, что закономерности золотой пропорции и чисел Фибоначчи «буквально пронизывают поэзию Пушкина, свидетельствуя, с одной стороны, о высокой гармоничности стихотворных произведений, а с другой - о его гениальности с тончайшей интуицией».

Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник" (Пушкин А.С. ,Полное собрание сочинений, 10 т. – М., 1963. – Т.3. 558с.):

Картину раз высматривал сапожник,
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник,
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво ...


А эта грудь, не слишком ли нага?
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
"Суди, дружок, не выше сапога!"

Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг он на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах!



Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

Одно из последних стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие права..." состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк (Пушкин А.С., Полное собрание сочинений, 10 т. – М., 1963. – Т.3. 558с.):

Не дорого ценю я громкие права,
От коих не одна кружится голова.
Я не ропщу о том, что отказали боги
Мне в сладкой участи оспаривать налоги
Или мешать царям друг с другом воевать;
И мало горя мне, свободно ли печать
Морочит олухов, иль чуткая цензура
В журнальных замыслах стесняет балагура.
Все это, видите ль, слова, слова, слова.
Иные, лучшие, мне дороги права:
Иная, лучшая, потребна мне свобода:
Зависеть от царя, зависеть от народа -
Не все ли нам равно? Бог с ними.



Никому
Отчета не давать, себе лишь самому
Служить и угождать; для власти, для ливреи
Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;
По прихоти своей скитаться здесь и там,
Дивясь божественным природы красотам,
И пред созданьями искусств и вдохновенья
Трепеща радостно в восторгах умиленья,
Вот счастье! Вот права ...



Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции.

Представляет несомненный интерес анализ романа «Евгений Онегин», сделанный Н. Васютинским (Н.В.Васютинский. Золотое сечение, -М.,1990 – 365с.). Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!(Пушкин А.С., Полное собрание сочинение, 10 т. – М.,1964. – Т.5. 638с.)

Н. Васютинский констатирует:

"Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!"(Н.В.Васютинский. Золотое сечение, - М., 1990 – 365с.).

Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром..."), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением (Лермонтов М.Ю. Собрание сочинений: В 4 т. – М., 1964. – Т.1. 755с.).

Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну, ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя).

Многие исследователи поэмы Шота Руставели "Витязь в тигровой шкуре" отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха. Эти свойства поэмы грузинский ученый академик Г.В. Церетели относит за счет сознательного использования поэтом золотого сечения, как в формировании формы поэмы, так и в построении ее стихов.

Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на два сегмента двух видов: А - полустишие с равными сегментами и четным количеством слогов (4+4); В - полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции.

Установлено, что в поэме Руставели из 1587 строф больше половины (863) построены по принципу золотого сечения.

Драматическое произведение В.Шекспира «Гамлет» построено по принципу золотого сечения (Шекспир В., Гамлет, - М., 2006 – 366с.).

Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.