uzluga.ru
добавить свой файл

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


 

 

 

 

УТВЕРЖДАЮ


Руководитель Департамента

образовательных программ

и стандартов

профессионального образования

 

__________________ Л.С. Гребнев

 

“__3__” _сентября_______ 2001 г.

 

 

 

 

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


 

ДПП.02 ГЕОМЕТРИЯ


 

 

 

Рекомендуется Министерством образования Российской Федерации


для направления подготовки

 

540200 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

 

 

ДИСЦИПЛИНА ГЕОМЕТРИЯ

 

Направление: 540200 Физико-математическое образование

Профиль: 540201 Математика

Курс: 3, 4

Форма обучения: очная

Семестр: 5, 6, 7


Количество часов на дисциплину: 250

Количество аудиторных часов на дисциплину: 216

 

Цель дисциплины: формирование у студентов целостного представления о геометрии как об одной из важнейших областей современной математики.

 

Задачи дисциплины:

  • дать знания о нескольких разделах геометрии, связанных как с современной геометрией, так и со школьным курсом геометрии;

  • научить решению задач из этих разделов геометрии.

 
Принципы отбора содержания и организации учебного материала

Учебный материал дисциплины

  • во-первых, опирается на содержание тех общих курсов математики, которые были изучены студентами в первые два года обучения;

  • во-вторых, в каждом семестре обладает завершенностью изучаемого материала как по содержанию, так и по методам;

  • в-третьих, теоретический и задачный материал делятся в курсе примерно поровну и имеют, там, где это возможно, связи со школьным курсом геометрии.

 

Текущая аттестация качества усвоения знаний

Контроль достижения целей, перечисленных выше, осуществляется с помощью:

  • двух контрольных работ в течение каждого семестра;

  • еженедельных контролируемых внеаудиторных заданий, дифференцированных по степени трудности.

Главной целью проведения текущих контрольных работ является установление уровня и характера усвоения студентами основных понятий, умений и навыков, формируемых в процессе изучения курса.

 
Итоговая аттестация

Дисциплина завершается устными экзаменами по окончанию каждого семестра. На экзаменах проверяется степень усвоения студентами основных понятий дисциплины, понимание их взаимосвязи, умение доказывать основные теоремы, а также навыки в решении задач по каждому из разделов дисциплины.

 
Основное содержание

Геометрические преобразования евклидовых, аффинных и проективных пространств.

Движения плоскости и пространства. Классификация движений на плоскости и в пространстве. Фигуры 1-го и 2-го порядка. Подобия. Частные виды подобий. Подобия плоскости и комплексные числа. Инверсии плоскости и пространства и круговые преобразования. Инверсии плоскости и дробно-линейные преобразования комплексной плоскости. Аффинные отображения плоскости и пространства. Начала конечномерной выпуклой геометрии. Элементы проективной геометрии. Проективная прямая плоскость. Проективные преобразования.

Топология и геометрия многообразий. Метрические пространства. Определения и примеры. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства. Топологические пространства, аксиоматика, примеры. Свойства топологических пространств, подпространства топологических пространств, аксиомы отделимости, компакты, метрические компакты. Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы. Свойства непрерывных отображений. Топологические свойства поверхностей в n-мерном пространстве.

Гладкие многообразия, основные свойства. Подмногообразия. Гладкие поверхности в n-мерном пространстве. Касательное пространство. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, площадь поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Главные направления. Теорем Эйлера. Отыскание главных направлений и главных нормальных кривизн. Основные уравнения теории поверхностей. Внутренняя геометрия поверхностей. Геодезические линии на поверхности. Теорема Гаусса-Бонне. Внутренняя геометрия сферы. Элементы сферической геометрии. Поверхности постоянной отрицательной кривизны.

Основания геометрии. Аксиоматический метод. Аксиоматическое построение евклидовой геометрии. Аксиоматика школьного курса геометрии. Неевклидовы геометрии. Геометрия Лобачевского. Модели геометрии Лобачевского. Основные вопросы аксиоматики, минимальность, полнота и непротиворечивость систем аксиом. Категоричность системы аксиом. Различные системы аксиом евклидовой геометрии.

Измерение геометрических величин: длина отрезка, мера угла, площадь, объем. Равновеликость и равносоставленность фигур.

Аксиоматическое построение аффинной и проективной геометрий. Дополнительные вопросы школьного курса геометрии.

 
Организация самостоятельной работы

Самостоятельная работа предполагает, что: 1) отдельные темы могут быть отнесены на самостоятельное изучение; 2) на лекциях предлагается значительное количество контрольных вопросов и упражнений, служащих для проверки усвоения теории; 3) на практических занятиях регулярно задаются домашние задания, которые проверяют усвоение методов и приемов решения разбираемых на практических занятиях задач, закрепляют алгоритмические умения и навыки.

Самостоятельная работа не расширяет существенно рамки программы, она призвана закрепить излагаемый на лекциях и практических занятиях материал, а также приучает студентов к самостоятельному овладению новым материалом.

 

Основные понятия

  • преобразование, инварианты преобразования, группа преобразований;

  • расстояние;

  • движения, неподвижные точки преобразований, частные виды движений на плоскости и в пространстве, аналитическое задание линейных преобразований;

  • матрица оператора, приведение матрицы оператора к простейшему виду,

  • гомотетия, общие преобразование подобия, простое отношение трех точек;

  • выпуклые фигуры, инверсия, двойное отношение;

  • метрическое пространство, топологическое пространство, замкнутые и открытые множества, непрерывное отображение, гомеоморфизм;

  • гладкое многообразие поверхности, касательная плоскость, первая квадратичная форма, вторая квадратичная форма, геодезические линии, главные кривизны, гауссова кривизна, внутренняя геометрия сферы;

  • аксиоматические теории, аксиома параллельности Евклида, аксиома параллельности Лобачевского.

 
Рекомендуемая литература

а) основная литература

  1. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.1,2. – СПб., 1997.

  2. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.,1969

б) дополнительная литература

  1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М., 1990

  2. Александров А.Д. Основания геометрии. – М., 1987.

  3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1,2. – М., 1987.

  4. Берже М. Геометрия. Т.1,2. – М., 1984.

  5. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М., 1970.

  6. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М., 1986.

  7. Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрия. – М., 1997.

  8. Погорелов А.В. Основания геометрии. – М., 1979.

  9. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия. – М., 1979.

  10. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 2. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. – М., 1979

  11. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. – М., 1968.

 

Авторы-составители примерной программы дисциплины “Геометрия”: Вернер А.Л., доктор физ.-мат. наук, профессор; Волков Д.Ю., канд. физ.-мат. наук, доцент.

 

 

Программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 540200 Физико-математическое образование.

Программа обсуждена и одобрена на заседании учебно-методического совета по направлению 540200 Физико-математическое образование Учебно-методического объединения по направлениям педагогического образования на базе РГПУ им. А.И.Герцена (протокол № 14 от 13 ноября 2000 г.).

 

 

 

Председатель совета УМО

по направлениям педагогического образования

на базе РГПУ им. А.И.Герцена ________________ Г.А.Бордовский

 

 

Председатель УМС по направлению

540200 Физико-математическое образование ________________ С.Д.Ханин