uzluga.ru
добавить свой файл
МНОГОЧЛЕНЫ

Задание 3.1

Определение многочлена.

Степень многочлена


  1. Доказать, что функция f не является многочленом

а)

б)

  1. Приведите многочлен к стандартному виду:

а)

б)

  1. Найдите степень многочлена

а)

б)

*4. Представьте выражение в виде суммы кубов двух многочленов


Задание 3.2

Действия с многочленами


  1. Запишите в каноническом виде композицию P(Q(x)) и Q(P(x)) если а

  2. Найдите P(x+1) если P(2x-1)=

  3. За какое наименьшее число умножений можно найти

  4. Найдите сумму коэффициентов многочлена f(x-1) где

  5. Старший коэффициент многочлена P(x) равен Докажите, что при любом натуральном k многочлен имеет иррациональный старший коэффициент




Задание 3.3


Метод неопределенных

коэффициентов


  1. При каких a, b, c равны многочлены и

  2. Разложите на множители методом неопределенных коэффициентов многочлен

  3. Найдите многочлен P(x) удовлетворяющий тождеству P(P(x))=

*4. Докажите, что многочлен от двух переменных нельзя представить в виде произведения двух многочленов – одного от x и другого от y


Задание 3.4

Деление многочленов с остатком


  1. Выполните деление с остатком на x-2

  2. При каком значении a многочлен P(x) делится без остатка на многочлен Q(x) ,

  3. Может ли многочлен делится на многочлен

*4. При каких целых значениях n выражение является целым числом?


Задание 3.5

Схема Горнера


  1. Используя схему Горнера, выполните деление многочленов:

на (x+2)

  1. При каком значении a многочлен при делении на двучлен x-a дает остаток 2 ?

  2. Разложите многочлен по степеням разности x+3

  3. Разложите на элементарные дроби




Задание 3.6


Многочлен, как функция


  1. Многочлен P(x) при делении на x+1 дает в остатке 1, а при делении на (x+1)(x+2)(x+3) дает в остатке многочлен, все коэффициенты которого равны. Какой остаток он дает при делении на (x+2) ?

  2. Зная, что многочлен имеет корень C т.е. f(C)=0, запишите многочлен с целыми коэффициентами, имеющий корень

a)

б)

в)

3. Найдите свободные члены и суммы коэффициентов многочленов

a)

б)

4. Найдите все корни многочлена , если одним из его корней является

число

  1. Докажите, что не существует многочлена f с целыми коэффициентами такого, что f(-1)=2007 и f(1)=2008

Задание 3.7


Применение теоремы Безу.

Корни многочленов.


  1. Найдите кратность корня x=1 для многочлена

  2. Докажите, что число делится на 11

  3. Докажите равенство

  4. Докажите, что для любых целых чисел a,b,c число делится на a-b+c

  5. Многочлен P(x) с целыми коэффициентами принимает значение 5 в пяти различных целых точках. Выясните, может ли он иметь целый корень.


Задание 3.8


Следствия теоремы Безу.


  1. Найдите кубический многочлен f по его значениям f(-1)=8; f(0)=8; f(0.5)=11; f(1)=24

  2. Приведите многочлен к стандартному виду:

  3. Пусть f и g многочлены с рациональными коэффициентами, и многочлен делится на . Докажите, что многочлены f и g делятся на x-2

  4. Найдите все многочлены f, для которых выполняется равенство


Задание 3.9

Многочлены с целыми коэффициентами

и их рациональные корни


  1. Найдите все действительные корни уравнения

  2. Составьте многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, один из корней которого равен

  3. Решите уравнение

*4. Пусть Существует ли такое иррациональное число z, что f(z) – рациональное число ?


Задание 3.10

Рациональные корни многочлена


1. Докажите, что уравнение не имеет целых корней.

2. Докажите, что уравнение имеет вещественные корни, но не имеет рациональных.

3. Разлагается ли многочлен (x-1)(x-2)(x-3)-1 на произведение многочленов с целыми коэффициентами?

*4. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.


Задание 3.11

Теорема Виета


  1. Не решая уравнение Найдите:

a);

б) ;

в);

г);

д) ;

е);

2. Составьте какой-либо многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, имеющий корни: (корни однократные)

3. Решите систему уравнений:

4. Докажите, что уравнение при любом имеет только один вещественный корень

Контрольное задание


  1. При каких значениях a и b многочлен делится без остатка на x+3, а при делении на x-2 дает остаток, равный 5 ?

  2. Докажите, что многочлен делится на x(2x+1)(x+1) без остатка.

  3. Найдите все рациональные корни многочлена

а)

б)

4. Докажите, что многочлен можно представить в виде суммы квадратов двух многочленов.

5. Один из корней многочлена в два раза больше другого. Найти P(x) и его корни.

6. С помощью разложения по степеням x-1 многочлена докажите, что данный многочлен не имеет корней на

7. Найдите числа a, b, p, q так, чтобы для любого x имело место равенство