uzluga.ru
добавить свой файл

Приложение2

Математические софизмы, которые можно применять при изучении различных тем алгебры в 7-8 классах

1.Неравные числа равны

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-Ь = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим (а-b)2 = = c(a-b), a раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 = = ca-cb, из которого следует равенство а2- аb - ас = аb -b2 -bc. Вынося общий множитель а, слева и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-Ь-с), получаем, что a=b, значит, два неравных между собой произвольных числа равны.

2.Единица равна нулю


Возьмем уравнение

х-а = 0. (1)

Разделив обе его части на х-а, получим



откуда сразу же получаем требуемое равенство

1=0.

3.Всякое число равно своему удвоенному значению


Запишем очевидное для любого числа а тождество

а22 = а22.

Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разло­жим на множители по формуле разности квадратов, получив

а(а - а) = (а + а)(а - а). (1)

Разделив обе части на а-а, получим а = а + а, или

а =2а.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

4.Единица равна минус единице.


Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1 = 0. Раскладывая х2-1 по формуле разности квад­ратов, получим

(х+1)(х-1) = 0. (1)


Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем

х + 1 = 0 и х = -1. (2)

Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству

1 = -1.

5.Если одно число больше другого, то эти числа равны

Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых рав­на d, т. е. a + b + c = d.

Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим

ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства та + mb + тс = md , nd = na + nb + nc, получим

ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md. Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем

та + mb + mc- md= na + nb + nc- nd,

а вынося слева число т, а справа число п за скобки, при­дем к соотношению

т(а + b + с - d) = п (а + b + с - d), (1)

откуда, разделив обе части последнего равенства на (а + b + c-d), находим, что

m= n.

6.Все натуральные числа ,большие единицы, равны между собой.

Рассмотрим известные алгебраические формулы

x2-l = (x-l)(х+l), х3-1 = (х-1)(х2 + х + 1) и вообще для любого натурального п имеем

хп -1 = (х - 1)(хп-1 + хп-2 + ... + x2 + x + l).

Разделив обе части этих формул на х-1, получим






При х = 1 левые части этих равенств принимают одно и то же значение , поэтому должны быть равны и их правые ча­сти, откуда получаем, что

2 = 3 = ••• = n.

7.Любое число равно

Возьмем два произвольных положительных действительных и равных друг другу числа х и z. Поскольку по условию x = z> то . Поэтому с полным основанием мы можем записать следующие два тождества:

x- = z- (1)

-z = -z (2)

Сложив эти два равенства почленно, получим

х-г = - (3)

Прибавив и отняв в левой части равенства (3) величину вместо равенства (3) получим

x + --z = - или, что, очевидно, то же самое,

х + - -z = - (4)

В левой части последнего равенства первый и второй члены представим в виде ( +)а третий и четвертый — в ви­де ( + ). В результате этих преобразований равенство (4) примет вид

( +)- ( + )=- (5)

и окончательно может быть записано так:

( +) (- )= - (6)

(если вынести за скобки общий множитель ( +) в левой части равенства).

Для того чтобы равенство (6) имело место, необходимо выполнение условия

+= l, (7)

а так как в силу исходного равенства x = z, заключаем, что

2 = 1, или =, откуда х =

т. е. произвольное число равно .

8.Единица не равна единице

Возьмем две равные дроби ,для которых справедливо следующее правило:

= (1)


легко проверяемое приведением к общему знаменателю.

Возьмем теперь равенство



которое, очевидно, удовлетворяется при х = а-b. Тогда при­менение соотношения (1) дает


(2)


В дроби, стоящей в правой части последнего равенства, чис­литель и знаменатель равны, поэтому эта дробь равна единице. В то же время дробь в левой части, конечно, отлич­на от единицы. Следовательно,

1-1.

9. «Все числа равны между собой»

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а-2ab+b= b-2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а-b)2 = (b-а)2. (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно

a=b.

10.«Единица равна двум»

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости ра­венства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что 1=2.


11. Любые два неравных числа равны

Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х и z и обозначим их сумму числом а, т. е. x + z = a. Умножив обе части этого равенства на x-z, получим (x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства скобки: x2-z2 = ax- az.

Перенесем ах из правой части равенства в левую, a z2 из левой части в правую. В результате получим

x2-ax = z2-az.

Прибавляя к обеим частям последнего равенства число , будем иметь

х2-ах+ = z2-az+,

или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты, получим



а извлекая из обеих частей последнего равенства квадрат­ные корни, придем к выражению




Так как вторые члены слева и справа в этом равенстве рав­ны, то заключаем, что

x=z.

12.Половина любого числа равна половине ему противоположного.

Возьмем произвольное число а и положим х =-|. Тогда

2х + а = 0 или после умножения на а получим 2ах + а2 = 0. При­бавляя к обеим частям этого равенства х2, имеем

х2 + 2ах + а2 = х2.

Так как х2 + 2ах+а2 = (х + а)2, то предыдущее равенство мож­но записать в виде

(х + а)2 = х2, (1)

а после извлечения квадратного корня из обеих частей по­следнего равенства получаем

х + а = х. (2)

Поскольку по условию х =-, то из равенства (2) имеем -+ а= -, и поэтому получаем окончательно

-=.

13.Чётное число равно нечётному.


Возьмем произвольное четное число 2n, где п любое целое число, и запишем тождество

(2n)2-2n(2(2п) + 1) = (2n + 1)2-(2n + 1)(2(2n)+1), в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.

Прибавив к обеим частям этого тождества , пере­пишем его в следующем виде:

(2n)2- 2(2n) +=(2n+1)2- 2(2n+1) +


или в таком:

(2n-)2=(2n+1-))2 (1)

откуда следует, что


2n-=2n+1-

или


2n=2n+1,

что означает равенство четного числа нечётному.


14.Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю.


Возьмем произвольное не равное нулю число а и напишем уравнение х = а. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах = -4а2. Прибавляя к обеим частям последнего равенст­ва х2 и перенеся член -4а2 влево с противоположным зна­ком, получим х2-4ах + 4a2 = х2, откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем

(х-2а)2 = х2, (1)

или

х-2а = х. (2)

Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, по­лучим а-2а = а, или -а = а, откуда

0 = a + a,

т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.


15.Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего туже абсолютную величину.

Нижеследующее рассуждение основано на утверждении: Если две дроби равны и в первой дроби числитель больше знаменателя, то и во второй числитель должен быть больше знаменателя, т. е. если а>в то и c>d.

Запишем теперь очевидные равенства (число А0)



Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и поэтому мы можем записать

(1)

Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби числитель больше знаменателя (так как +А >-А), то, следо­вательно, и во второй дроби числитель должен быть больше знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось неравенство

-А>+А.

Итак, мы пришли к выводу, что отрицательное число больше положительного.


16.Семь равно тринадцати.


Рассмотрим уравнение

(1)

Оно может быть решено следующим образом. Приведя ле­вую часть уравнения к общему знаменателю, будем иметь:

, откуда - или



Поскольку числители дробей в левой и правой частях урав­нения равны, то, для того чтобы имело место равенство обе­их частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и зна­менатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7=13.

17.Восемь равно шести


Решим систему двух уравнений



подстановкой у из второго уравнения в первое. Получаем х+ 8-х = 6, откуда

8=6.

18.Один рубль не равен ста копейкам

1р=100коп

10р=1000коп

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10р=100000коп, откуда следует:

1р=10000коп., т.е. 1р.100коп.


19.Всякое положительное число является отрицательным

Пусть п — положительное число. Очевидно,

2n-1< 2n. (1)

Возьмем другое произвольное положительное число а и ум­ножим обе части неравенства на (-а):

-2ап + а<-2ап. (2)

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2аn), получим неравенство а<0, доказывающее, что

всякое положительное число является отрицательным.

20.Число, равное другому числу, одновременно и больше и меньше его.

Возьмем два произвольных положительных равных числа а и b и напишем для них следующие очевидные неравенства:

а>-b и b>-b. (1)

Перемножив оба эти неравенства почленно, получим нера­венство ab>b2 ,а после его деления на b, что вполне закон­но, так как по условию b>0, придем к выводу, что

а>b. (2)

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

b>-а и а>-а, (3)

аналогично предыдущему получим, что bа>а2, а разделив на а>0, придем к неравенству

а<b. (4)

Итак,

число а, равное числу b, одновременно и больше.

и меньше его.


* Все софизмы взяты из книги. А.Г Мадеры., «Математические софизмы», М, «Просвещение»,2003г