uzluga.ru
добавить свой файл
1
Содержание


Введение…………………………………………………..3

История предмета………………………………………...4

Графы……………………………………………………...5

Многогранники…………………………………………...8

Невыпуклые многогранники……………………………16

«Дырки» в многогранниках……………………………..20

Заключение……………………………………………….24

Литература………………………………………………..25


Введение


Интересен и разнообразен мир многогранников, сколько бы не изучали его, с каждым годом, с каждым веком люди не перестают делать все новые и новые интересные открытия в этой области.

Мир математики увлек меня с самого детства. В доме всегда находились и окружали меня интересные энциклопедии по математике, книги с занимательными задачами, ребусами, головоломками и играми на развитие абстрактного воображения и т. д.

В этих книгах я встретила, заинтересовавшие меня, рисунки-парадоксы, а также упоминания о науке топологии. Топология – наука о самых общих свойствах фигур, которые сохраняются при непрерывных деформациях.

Позднее я решила сопоставить «обычные» многогранники и многогранники «парадоксы» с точки зрения топологии. Есть ли в них что-то общее или же, наоборот, они совершенно непохожи.

Еще одной целью моей работы сформулировать и попытаться доказать утверждение о многогранниках со сквозными дырками.


История предмета


В истории науки принято называть первым математиком Фалеса – греческого купца, путешественника и философа (он родился в VII в. до н.э.). конечно, существуют более ранние египетские и вавилонские источники, содержащие разнообразные арифметические и геометрические сведения, но в них нет даже намека на доказательства. Фалесу же приписывают первые математические теоремы. Кстати, Фалес не был только «чистым» математиком, он решал и прикладные задачи. Измерив тень от египетской пирамиды и тень от места и применив свои теоремы о подобии, он вычислил высоту пирамиды. Так, по легенде, родилась наша наука.

В 1987 году в математике на одно из первых мест выходит топология, заметно потеснившая свою «старшую сестру» - геометрию. Несколько даже неожиданный расцвет топологии является одной из характернейших примет 1987года конца ХХ века.

Стартовав как раздел геометрии, топология быстро внедрилась и во многие другие области математики. Кажется почти правильным утверждение, что топология представляет собой особое состояние ума и преследует свои собственные цели.

В некотором смысле слова топология – это наука, изучающая непрерывность: исходя из непрерывности пространства или форм, она переходит к обобщениям, которые затем по аналогии приводят к новому пониманию непрерывности, а «обычное» пространство, как мы себе его представляем, остается далеко позади.


Математиков стиль так для нас необычен,

А понятный язык вовсе им непревычен.

Рассуждения их коль решите понять,

Так придется вам новый язык изучать.

И на всех с артистическим складом ума

Нападает он, как оспа или чума.


Где же понять нам, что числа, подобно стрижам, –

А стрижи так стремительно в небе ктужат! –

Расположатся в ряд на бескрайней прямой.

Да стрижи, возвращаясь с полета домой,

Не собьются с пути, а тополог,

Ей–ей, страны света смешает и небо с землей,

Рассуждая: мол, разницы нет никакой.


Графы


Графом называют набор точек, некоторые из которых соединены линиями (дугами). Точки именуются вершинами графа, а отрезки – ребрами.

Если поставить проволочный додекаэдр на плоскость, а затем поднести источник света близко к центру его верхней грани, то проекции – тени ребер на плоскость составят граф. Таким же образом можно составить графы и для других правильных многогранников.

Свойства графа не меняются с изменением положения его вершин, не зависят от того какими именно линиями вершины соединены. Два графа, изображенные на рисунке, в этом смысле одинаковы.





У каждого одинаковое число вершин, и если две вершины одного графа соединены ребром, то вершины второго графа, имеющие те же номера, также соединены ребром. Это замечание более строго формулируется так: два графа называются изоморфными (от греческого «изос» - «равный» и «морфе» - «вид», «форма»), если между их вершинами можно установить взаимно однозначное соответствие при котором вершинам, соединенным ребром, соответствуют вершины, также соединенные ребром. Графы на следующем рисунке тоже изоморфны.





У одного из них пересекаются некоторые ребра, у второго же таких пересечений нет.

Граф не всегда можно изобразить на плоскости так, чтобы его ребра не пересекались. Графы, для которых это возможно, называются плоскими.

Рассмотрим два графа которые «не укладываются» на плоскость, без пересечения ребер.





Первый из них – граф с пятью вершинами, каждые две из которых соединены ребром. Такой граф называется полным (рис. 1)

Второй граф, с шестью вершинами и девятью ребрами (рис. 2), носит название «домики – колодцы». Оно произошло от старинной задачи головоломки.

Польский математик Казимеж Куратовский установил, что никаких принципиально иных не плоских графов не существует. Точнее, если граф «не укладывается» на плоскость, то в нем «сидит» по крайней мере один из этих двух графов, быть может с дополнительными вершинами на ребрах.

Плоские графы обладают многими интересными свойствами. Так, Эйлер обнаружил простую связь между количеством вершин (В), количеством ребер (Р) и количеством частей (Г), на которые граф разделяет плоскость: В – Р + Г = 2

Эта же формула верна для любого выпуклого многогранника, причем В и Р – вновь количество вершин и ребер, а Г – число граней многогранника.

Впервые это замечательное соотношение обнаружил Рене Декарт около 1620г. В 1752г. Ту же формулу переоткрыл Леонард Эйлер, когда занимался описанием типов выпуклых многогранников в зависимости от числа их вершин. Сейчас ее называют формулой Эйлера.

Формула Эйлера выполняется не только для выпуклых многогранников и даже не только для многогранников.

Теорема Эйлера.

Пусть на плоскости задано m точек и n попарно пересекающихся дуг, каждая из которых соединяет какие-либо две данные точки и не проходит через остальные m – 2 точки, и пусть эти дуги делят плоскость на l областей. Если из каждой данной точки в любую из остальных можно попасть, двигаясь по этим дугам, то

m – n + l =2


Теорема Эйлера стала одной из первых теорем топологии.

Топология – наука о самых общих свойствах фигур, которые сохраняются при непрерывных деформациях.


Многогранники


Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360˚.

Например, рассмотрим куб. Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: АВСD, BEFC … . Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: AB, BC, BE … . Вершинами куба являются вершины квадратов: A, B, C, E … . У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.


Теперь построим многогранники и попробуем изобразить к этим многогранникам плоские графы, ребра которого не пересекаются друг с другом. Сравним графы многогранников «парадоксов» с соответствующими им «обычными» многогранниками. Применим к каждому случаю теорему Эйлера и посчитаем эйлерову характеристику.


16 – 25 + 10 = 1 16 – 24 + 10 = 2








16 – 25 + 10 = 1 16 – 24 + 10 = 2








Данные многогранники «парадоксы» не раскладываются на плоские графы без пересечения линий, и в результате эйлеровой формулы получается единица. В то время, как «обычные» многогранники (без парадокса) легко раскладываются на плоскости и в результате применения формулы Эйлера получается двойка (чего и требует теорема Эйлера).





Многогранник называется невыпуклым если он не лежит по одну сторону любой плоскости содержащей его грань.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является гексаэдр (куб) – равные квадраты и в каждой вершине сходится по три ребра.

Очевидно, все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n ≥ 6 не существует. В самом деле, угол правильного n-угольника при n ≥ 6 не меньше 120˚. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n-угольники при n ≥ 6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120˚ × 3 = = 360˚. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника должна быть меньше 360˚.

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пять равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо тех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

В соответствии с этим и существует только пять типов правильных выпуклых многогранников.

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

У гексаэдра все грани – квадраты, в каждой вершине сходятся по три ребра. Гексаэдр представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

У икосаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой его вершине сходится по пять ребер.

В необъятном океане многогранных форм эти пять правильных многогранников (или Платоновых тел) построение которых венчает «Начала Евклида», выделяются своим совершенством.




Как уже и было сказано в разделе «Графы», ко всем правильным многогранникам можно составить сетки. Формула Эйлера действует во всех случаях и равна двум.


4 – 6 + 4 = 2





8 – 12 + 6 = 2





6 – 12 + 8 = 2





20 – 30 + 12 = 2





12 – 30 + 20 = 2








Невыпуклые многогранники


Поставим на верхнюю грань куба меньший куб. Это простой, хотя и невыпуклый многогранник. Проверим для него формулу Эйлера: В = 16, Р = 24, Г = 11, В – Р + Г = 3?! Причина недоразумения заключается в том, что одна из граней нашего многогранника – та, что осталась от верхней грани большого куба – «плохая»: в ней есть дырка. Из-за этой дырки ребра разбиваются на две несвязные группы. Дело можно поправить, если провести дополнительное ребро, соединяющее два куба. Например, как показано на рисунке. Теорема Эйлера начинает работать: 16 – 25 + 11 = 2.





Обратим внимание, что в теореме Эйлера есть условие: «…из каждой данной точки в любую из остальных можно попасть, двигаясь по этим дугам…».

В многогранниках, приведенных ниже, это условие не выполняется, хотя формула Эйлера действует.

Попробуем исправить положение и провести грань, которая бы соединила все точки. На примере «объемного» треугольника проведем ребро 5 – 9. Условие Эйлера теперь выполняется, но, как ни странно теорема Эйлера действовать перестает 12 – 19 + 8 = 1. То же самое получим и для четырех, пяти, и шестиугольника.


12 – 18 + 8 = 2





Вспомним, что мы делали и на какие утверждения опирались. Выше было сказано: «поставим на верхнюю грань куба меньший куб… одна из граней многогранника – «плохая» – в ней есть дырка». В нашем утверждении сказано «одна из граней», а у нас – «сквозная дырка» и поэтому нет двух граней. Из этого следует, что треугольник, находящийся в центре графа это не грань, а дырка. Попробуем сформулировать и доказать утверждение о многогранниках со сквозными дырками.

Утверждение:

Если многогранник имеет g сквозных дыр, и у него не выполняется условие: из каждой данной вершины можно попасть в любую другую вершину, двигаясь по ребрам многогранника, то при построении его графа нужно добавить g ребер, которые соединяют вершины графа.

Доказательство:

У нас было несколько вершин (В), несколько ребер (Р) и несколько граней (Г), формула Эйлера: В – Р + Г = 2. В графе мы добавили одно ребро, соединив две вершины этого графа, если внимательно посмотреть на получившийся граф, то видно, что грани и вершины остались в своем количестве, но, как уже было сказано, в центре у нас дырка, в графе она считается дополнительной гранью. Граней в графе становится на одну больше, чем в многограннике (Г + 1). В графе мы также добавили одно ребро, поэтому ребер также становится на одно больше (Р + 1), формула Эйлера приобретает вид: В – (Р + 1) + (Г + 1). При раскрытии скобок


получаем В – Р – 1 + Г + 1, при подсчете получаем первоначальную формулу: В – Р + Г = 2. Значит формула Эйлера остается в неизменном виде даже при проведении дополнительного ребра (необходимого для действия формулы Эйлера в графе).


12 – 18 + 8 = 2





18 – 27 + 11 = 2





16 – 24 + 10 = 2





24 – 36 + 14 = 2





«Дырки» в многогранниках


Величина В – Р + Г, называемая эйлеровой характеристикой, будет равна 2 для всех многогранников, «устроенных как сфера», - они, образно говоря, превратятся в шарик, если их сделать из резины и надуть. Такие многогранники именуют простыми. Очевидно, все выпуклые многогранники простые. Но, например, эйлерова характеристика «треугольного бублика» равна нулю. Можно показать, что для многогранника, имеющего g «сквозных дыр», она равна 2 – 2g.





Многогранники «бублики» невозможно разложить на плоские графы, но, если вы попробуете разложить на плоскости многогранники «парадоксы» то убедитесь, что это невозможно.


12 – 24 + 12 = 0





16 – 32 + 16 = 0





16 – 24 + 8 = 0




20 – 40 + 20 = 0




20 – 30 + 10 = 0





24 – 48 + 24 = 0





Эти многогранники «парадоксы» невозможно разложить на плоские графы без пересечения линий и по теореме Эйлера у них получается ноль. Но и многогранники «бублики» так же не раскладываются на плоскости, и в формуле у них получается ноль. Это общее у этих многогранников «парадоксов» и многогранников «бубликов».













Заключение


В данной работе проведено исследование и приведено сравнение разных многогранников, с точки зрения топологии.

Из всего проведенного исследования можно сделать вывод, что ни один многогранник «парадокс» невозможно разложить на плоский граф без пересечения дуг, а многогранники «бублики» и многогранники «парадоксы», которые мы рассматривали в разделе «Дырки» в многогранниках, с этой точки зрения одинаковы. В многогранниках «парадоксах» эйлерова характеристика равна единице, а в «обычных» многогранниках, как и положено, она равна двум.

В данной работе сформулировано и доказано утверждение о многогранниках со сквозными дырками.

Мы рассмотрели лишь самые простые многогранники, но эту тему не закончить, потому что многогранники можно усложнять до бесконечности. Нет предела совершенству.


Литература



  1. М. Д. Аксенова глав. ред. / Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М. : Аванта+, 1998. – 688с.

  2. А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик / Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики – М. : Просвещение, 1999. – 238 с.

  3. А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик / Геометрия: Учеб. для учащихся 11 кл. с углубл. изуч. математики – М. : Просвещение, 2000. – 319 с.

  4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. / Геометрия: Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. Учреждений – 9-е изд., с изм-м.: Просвещение, 2000 – 206 с.

  5. С. Барр / Россыпи головоломок: Пер. с англ. / 3-е изд., стереотип. – М. : Мир, 1987. – 415 с.

  6. А. В. Погорелов / Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1991. – 384 с.