uzluga.ru
добавить свой файл
1

Коллоквиум по линейной алгебре и линейным пространствам





  1. Матрицы. Виды матриц. Операции над ними. Свойства операций сложения и умножения матриц (доказательство для матриц 2x2).

  2. Определители 2-го, 3-го, n-го порядков. Свойства определителей (с доказательством).

  3. Обратная матрица. Теоремы о существовании и единственности обратной матрицы.

  4. Минор k–го порядка. Ранг матрицы. Трапецевидная матрица. Теорема о ранге матрицы трапецевидной формы. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Сформулировать теорему о ранге эквивалентных матриц. Теорема о приведении матрицы к трапецевидной форме.

  5. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия систем линейных алгебраических уравнений. Критерий Кронекера-Капелли и следствие из него. Метод Гаусса.

  6. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровская система уравнений. Метод Крамера. Матричный метод.

  7. Определение линейного пространства. Линейное подпрастранство. Линейно зависимая и линейно независимая система векторов. Признак линейной зависимости. Базис и размерность линейного пространства. Теорема о единственности разложения по базису.

  8. Однородная система линейных уравнений. Теорема о пространстве решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о размерности пространства решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система уравнений.

  9. Линейно зависимая и линейно независимая система векторов. Базис линейного пространства. Матрица перехода от одного базиса к другому. Теорема о преобразовании координат вектора при переходе к другому базису и следствие из нее.

  10. Линейное преобразование. Матрица линейного преобразования. Примеры линейных преобразований. Изменение координат вектора при линейном преобразовании.

  11. Линейное преобразование. Действия с линейными преобразованиями. Теорема о сумме, произведении и произведении на число линейных преобразований. Теорема о матрицах суммы, произведения и произведения на число линейных преобразований.

  12. Матрица линейного преобразования. Теорема об ее изменении при переходе к другому базису. Подобные матрицы. Независимость определителя матрицы линейного преобразования от выбора базиса.

  13. Собственные векторы и собственные значения. Свойства собственных векторов. Связь действительных корней характеристического многочлена с собственными значениями линейного преобразования.

  14. Собственные векторы. Теорема о матрице линейного преобразования в базисе, состоящем из собственных векторов. Теорема о линейной независимости собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям.


Структура билета


  1. Теоретический вопрос (30%).

  2. Теоретический вопрос (30%).

  3. Тестовое практическое задание по теме «Линейная алгебра» (12%).

  4. Тестовое практическое задание по теме «Линейные пространства и линейные преобразования» (13%).

Итоговые баллы за коллоквиум (КОЛ)

К баллам, полученным за билет (Бил), прибавляются баллы за контрольные работы по линейной алгебре (ЛА) и линейным пространствам (ЛП), умноженные на 0,1.

КОЛ = Бил + ЛА ∙ 0,1 + ЛП ∙ 0,1

Максимальное количество баллов за билет – 80.

Максимальное количество баллов за контрольные работы – 20.