uzluga.ru
добавить свой файл
1
Лабораторная работа № 10-К


«Исследование нормальных колебаний струны»


1. Введение

Распространение в пространстве различных возмущений состояния вещества или поля называется волновым процессом или волной. Примерами волн являются звук (упругие волны) и свет (электромагнитные волны).

Довольно часто наблюдаются стоячие волны, образующиеся в результате сложения падающих и отраженных волн. Так, например, каждый тон звучания музыкальных инструментов является стоячей волной струны или столба воздуха. На приемной антенне телевизора и в рабочем объеме лазера устанавливаются стоячие электромагнитные волны.

В настоящей работе изучаются нормальные колебания струны, являющиеся стоячими упругими волнами.


2. Основные понятия

2.1. Уравнение гармонической плоской волны, распространяющейся вдоль оси OX , имеет вид

(1)

где - смещение частиц от положения равновесия;

A - амплитуда колебания;

к - волновое число, равное , где - длина волны;

ω- циклическая частота колебаний, ;

- начальная фаза колебаний.

Скорость волны V, длина волны и частота колебаний связаны соотношением

. (2)

2.2. Рассмотрим пример образования стоячей упругой волны на струне. Предположим, что струна длиной L натянута вдоль оси OX, причем ее концы жестко закреплены (рис. 1).

Возбудим на струне гармоническую волну с начальной фазой , бегущую вдоль оси OX слева направo



Если отражение волны от правого конца происходит без потери энергии, отраженная волна имеет такую же амплитуду, что и падающая, и описывается уравнением

,

где определяется изменением фазы при отражении.

При сложении и возникает интерференция и результирующая стоячая волна имеет вид

.

Величина

(3)

является амплитудой стоячей волны и зависит от координат точки. В случае, когда концы струны жестко закреплены, граничные условия имеют вид

. (4)

При отражении от закрепленного конца фаза волны меняется на , (). Тогда уравнение (3) примет вид

. (5)

2.3. Покажем, что стоячая волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний. Из второго граничного условия следует и , где n - целое число. Следовательно, волновое число и длина волны могут иметь только следующие строго определенные значения:

.

Таким образом, на струне возможны только те стоячие волны, половина длин которых укладывается на длине струны L целое число раз (рис. 1).

. (6)


а


б


в


Рис. 1

Соответствующие этим длинам волн частоты колебаний называются собственными частотами колебаний струны, а частота - основной частотой. Возбужденные в струне колебания с собственными частотами называются нормальными колебаниями струны (модами) или гармониками. Форма мод для n = 1, 2 и 3 показана на рис. 1. Первая мода называется основной.

Точки, для которых амплитуда равна нулю, называются узлами стоячей волны. Точки, где амплитуда колебаний максимальна и равна 2A , называются пучностями. В пределах одной полуволны колебания всех точек происходят в фазе, при переходе к соседней полуволне фаза скачком меняется на π.

2.4. Отношение определяет фазовую скорость волны, для гармонических волн совпадающую по величине со скоростью распространения волн V.

2.5.Можно показать (см. приложение), что скорость распространения волны по струне зависит от силы натяжения струны T и ее погонной плотности ρ0 (массы на единицу длины) следующим образом:

. (7)

2.6. При воздействии на струну внешней гармонической силы на ней установится определенная мода колебаний, если ее частота совпадет с частотой вынуждающей силы.

2.7. В настоящей лабораторной работе изучаются закономерности нормальных колебаний струны, а именно: рассчитывается погонная плотность струны, сравниваются экспериментально найденные и теоретически рассчитанные скорости распространения волны при различных силах натяжения струны.


3. Описание лабораторной установки

3.1. Струна (медная проволока) закреплена одним концом на неподвижной стойке, к другому концу прикреплена чашечка. Переменный ток в струне создается генератором . Небольшой участок струны находится в поле электромагнита, питаемого от выпрямителя ВУ (рис. 2). Для измерения длины струны имеется масштабная линейка.


Рис. 2

3.2. В настоящей работе внешней вынуждающей силой является сила Ампера, с которой магнитное поле взаимодействует с участком струны, по которой протекает переменный ток.

3.3. Техника безопасности

Корпуса генератора и выпрямителя должны быть заземлены. Запрещается включать приборы без разрешения преподавателя или лаборанта.


4. Порядок измерений

4.1. Внести технические данные приборов в табл. 1.

Таблица 1


Прибор

Предел измерений

Цена деления

Приборная погрешность

Звуковой

генератор





































Линейка












4.2. Измерить по линейке рабочую длину L струны. Внести величину в табл. 2. Туда же записать массу чашечки m0 (указана на её дне), ∆L и ∆m0 - приборные погрешности измерений, указанных выше величин.

Таблица 2

L




L




m0




m0






4.3. Включить и ВУ в сеть. Дать приборам прогреться несколько минут. Поместить на чашечку гирьку массой m = 20 г. Сила натяжения струны рассчитывается как

Т = (m + m0)g. (8)

Так как проволока имеет малый диаметр и ее легко порвать, нужно обращаться с ней достаточно осторожно.

4.4. Ручку «множитель» генератора поставить в положение 1, ручку «усиление» - в крайнее правое положение. Установить наименьшую частоту (20 Гц).

4.5. Плавно увеличивая частоту, добиться установления на струне основной моды колебаний с наибольшей амплитудой. Наблюдать колебания удобнее сверху, а не с боку. Записать значение частоты в табл. 3. Там же зарисовать профиль струны.

4.6. Продолжая увеличивать частоту , добиться установления следующих (n = 2, 3, 4, 5) мод колебаний струны.

Соответствующие частоты и профили поместить в табл. 3.

Таблица 3

n

Профиль струны


n



V = nn

1













2













3













4













5















4.7. Записать значения массы гирек (20г) и частоты первой моды также в табл. 4.

4.8. Поместить на чашечку гирьки с общей массой m = 30 г.

Добиться установления основной моды (см. 4.5), записать значения m и частоты колебаний i в табл. 4.

4.9. Повторить измерения по пункту 4.8 для масс 40, 50, и 60 г; данные поместить в табл. 4.

Таблица 4

i

mi

Ti

i

Vi = 2Li

Vi

Vi теор.

1



















2



















3



















4



















5



















5. Обработка результатов измерений

5.1. По данным табл. 3 рассчитать длину волны ln, частоту nn и скорость распространения Vi = 2Li, внести эти значения в табл. 3. Рассчитать среднее значение скорости распространения (для разных мод колебаний):

. (9)

5.2. Зная и силу натяжения струны Т, рассчитать погонную плотность струны ρ0:

(10)

5.3. По данным табл. 4 рассчитываются экспериментальные значения скорости распространения волны для основной моды при разных значениях силы натяжения струны:

. (11)

5.4. Абсолютную ошибку скорости ∆Vi можно рассчитать так:

, (12)

где L и i - приборные ошибки в измерении длины струны и частоты колебаний.

5.5. Используя значения ρ0 и предварительно рассчитав по формуле (8) Тi, вычислить теоретические значения скорости распространения (7). Данные расчетов занести в табл. 4. Сравнить полученные данные по экспериментальным и теоретическим значениям скоростей распространения для различных Тi.


Литература

  1. Савельев, И.В. Курс общей физики. T.4. Волны. Оптика / И.В.Савельев.- М.: Изд-во « Астрель», 2001.



Приложение

Пусть в положительном направлении оси 0X по струне поперечная волна смещения

. (13)

Рассмотрим бесконечно малый элемент струны dl около горба волны c x = 0 при t = 0 (рис. 3).

Рис.3

По второму закону Ньютона ускорение этого элемента определяется как

, (14)

где Т - сила натяжения струны; 0 - ее погонная плотность. Смысл остальных величин ясен из рис. 3, пользуясь которым, находим

; (15)

. (16)

Тогда из (14), (15) и (16)

. (17)

Находя непосредственно из формулы (13) и сравнивая с (17), получим

. (18)

Откуда скорость распространения бегущих по струне поперечных волн определится, как указано в 2.5, формула (7)

.

Вопросы для самоконтроля


1-й КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение волны. Какие волны называются продольными, поперечными? Какие волны изучаются в настоящей работе?

2. Напишите граничные условия для струны, закрепленной на обоих концах. Найдите спектр собственных частот.

3. Как меняется фаза волны при отражении?


2-й КОМПЛЕКТ

1. Напишите уравнение гармонической волны, распространяющейся в упругой среде. Назовите её параметры.

2. Что называется узлами и пучностями в стоячей волне? Как связано расстояние между соседними узлами с длиной волны?

3. В чем заключается явление резонанса, и какую роль оно играет в данной работе?

3-й КОМПЛЕКТ

1. Напишите уравнения скорости и ускорения движения частиц среды при распространении волны.

2. Дайте определение длины волны, фазовой скорости, частоты и периода колебания. Как связаны эти величины?

3. Напишите формулу, связывающую частоту любых нормальных колебаний струны с основной частотой.


4-й КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение волновой поверхности и волнового фронта.

2. Напишите выражения для бегущей и стоячей волн. Объясните их различие.

3. Найдите спектр собственных частот колебаний упругой узкой тонкой пластины, если один конец её закреплен, а второй свободен.


5-й КОМПЛЕКТ

1. Напишите дифференциальное волновое уравнение. Каковы его решения?

2. Выведите формулу для вычисления скорости волны при установлении на струне нормальных колебаний основной частоты.

3. Сколько длин волн укладывается на струне при наблюдении первой, второй и третьей гармоник основной частоты?

6-й КОМПЛЕКТ

1. Что является вынуждающей силой, действующей на струну?

2. Найдите спектр собственных частот колебаний струны при данных граничных условиях (4).

3. Напишите уравнение стоячей волны. Приведите её график.

Покажите узлы и пучности.


Работу поставили, написали описание и составили вопросы для самоконтроля ст. преподаватель Афанасьев Б.Л. и доцент Ипполитова Г.К.