uzluga.ru
добавить свой файл
Краткий обзор развития тригонометрии


Если вы действительно любите математи­ку,

читайте Эйлера

Л а г р а н ж


Слово "тригонометрия" искусственно составлено из греческих слов: "тригонон" - треугольник и "метрезис" - измерение. Основная задача тригонометрии состоит в решении треугольников, т.е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника - по площади и двум углам и т.д. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия охватывает своими применениями всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех разделах естествознания и техники.

Учение о решении сферических треугольников называется сферической тригонометрией; в противоположность этому учение о решении обычных треугольников называют плоской или прямолинейной тригонометрией.

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечаю­щий практическим нуждам человека. Именно астрономия опреде­лила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла раньше плоской.

Некоторые тригонометрические сведения были известны древ­ним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла α у них выполняла хорда, стя­гивающая дугу, равную 2 α .

Греческий астроном Гиппарх во II в. до н. э. составил таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг. Более полные сведения из тригонометрии содержатся в известном «Альмагесте» Птолемея.

Птолемей делил окружность на 360 градусов, а диаметр — на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям (60Ч). Каждую из частей он делил на 60', а каждую минуту на 60", секунду — на 60 терций (60'") и т. д. Говоря иными словами, он воспользовал­ся шестидесятеричной системой счисления, по всей вероятности, позаимствованной им от вавилонян. Применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиуголь­ника или хорду, стягивающую дугу в 60° в виде 60 частей радиуса (60Ч), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90° приравнивал числу 84Ч51'10". Хорду в 120° — сторону вписанного равносторон­него треугольника — он выражал числом 103Ч55'23" и т. д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора:

(хорда α)2 + (хорда |180 — α|)2 = (диаметру)2, что соответствует современ­ной формуле:

sin2 α + cos2 α = 1.

Применив известные из геометрии теоремы, ученый нашел за­висимости, которые равнозначны следующим современным фор­мулам при условии:

0°< α <90°



Воспользовавшись этими соотношениями и выраженными в частях радиуса значениями хорд 60° и 72°, он вычислил хорду, стягивающую дугу в 6°, затем 3°; 1,5° и, наконец, — 0,75°. (Значе­ние хорды в 1° он выражал приближенно.)

Сделанные расчеты позволили Птолемею составить таблицу, которая содержала хорды от 0 до 180°, вычисленные с точностью до 1" радиуса (напомним, здесь 1" — это часть радиуса, т.е. ).

Эта таблица, сохранившаяся до нашего времени, равнозначна таблице синусов от 0 до 90° с шагом 0, 25° с пятью верными деся­тичными знаками.

Названия линий синуса и косинуса впервые были введены ин­дийскими учеными. Они же составили первые таблицы синусов, хотя и менее точные, чем птолемеевы. В Индии и начинается по существу учение о тригонометрических величинах, названное поз­же гониометрией (от «гониа» — угол и «метрио» — измеряю).

Дальнейшее развитие учение о тригонометрических величинах получило в IX—XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока в трудах ряда математиков, которые не только воспользовались существовавшими в то время достижениями в этой области, но и сделали свой значительный вклад в науку.

Известный Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш или (Ахмед ибн Абдал-лах ал-Марвази) вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса.

Важное значение в развитии тригонометрии имели труды ал-Баттани (ок. 850—929) и Абу-л-Вафы ал-Бузджани (940—998). Последний вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил для синусов таблицу с интервалом в 15', значения в кото­рой приведены с точностью до 8-го десятичного знака, нашел отрезки, соответствующие секансу и косекансу.

Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад-ал-Беруни (по другой тран­скрипции Бируни (973—1048)) обобщил и при этом уточнил ре­зультаты, которых достигли его предшественники в области три­гонометрии. В труде «Канон Мас'уда» он изложил все известные в то время положения из тригонометрии и существенно дополнил их. Важное нововведение, предпринятое Абу-л-Вафой, подтвердил и ал-Беруни. Вместо деления радиуса на части, сделанного Пто­лемеем, они брали единичный радиус. Ал-Беруни подробно объ­яснил причину этой замены, показав, что все вычисления с единич­ным радиусом значительно проще.

Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201—1274) в «Трактате о полном четырехстороннике» впервые изложил тригонометричес­кие сведения как самостоятельный отдел математики, а не прида­ток к астрономии. Его трактат впоследствии оказал большое влия­ние на работы Региомонтана (1436—1476).

В первой половине XV в. Джемшид ибн Масуд ал-Каши вычислил с боль­шой точностью тригонометрические таб­лицы с шагом в 1' , которые на протя­жении 250 лет оставались непревзойден­ными.

В Европе XII—XV вв., после того как были переведены с арабского и гре­ческого языков на латинский некоторые классические математические и астро­номические произведения, развитие три­гонометрии продолжалось. При реше­нии плоских треугольников широко при­менялась теорема синусов, вновь откры­тая жившим в Южной Франции Львом Герсонидом (1288—1344), тригонометрия которого была в 1342 г. переведена на латинский язык. Самым видным евро­пейским представителем этой эпохи в области тригонометрии был Региомонтан. Его обширные таблицы синусов через 1' с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изло­женный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI—XVII вв.

На пороге XVII века в развитии тригонометрии намечается новое направление — аналитическое. Если до этого главной целью три­гонометрии считалось решение треугольников, вычисление эле­ментов геометрических фигур и учение о тригонометрических функ­циях строилось на геометрической основе, то в XVII—XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математи­ческого анализа. Она находит широкое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движе­ний и других периодических процессов. О свойстве периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математичес­кие исследования которого относились к тригонометрии. Швей­царский математик Иоганн Бернулли (1642—1727) уже при­менял символы тригонометрических функций. И если развитие алгебраической символики, введение отрицательных чисел и на­правленных отрезков содействовали расширению понятия угла и дуги, то развитие учения о колебательных движениях, о звуко­вых, световых и электромагнитных волнах привело к тому, что основным содержанием тригонометрии стало изучение и описание колебательных процессов. Из физики известно, что уравнение гар­монического колебания (например, колебания маятника, перемен­ного электрического тока) имеет вид:



Графиками гармонических колебаний являются синусоиды, поэтому в физике и технике сами гармо­нические колебания часто называют си­нусоидальными колебаниями.

В первой половине XIX в. фран­цузский ученый Ж. Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармо­нических колебаний.

Расширение представлений о триго­нометрических функциях привело к обо­снованию их на новой, аналитической базе: тригонометрические функции опре­деляются независимо от геометрии при помощи степенных рядов и других понятий математического анализа.

Развитию аналитической теории три­гонометрических функций содействовали И. Ньютон и Л. Эйлер. Основополож­ником этой теории следует считать Л. Эйлера. Он придал всей тригонометрии современный вид. Дальнейшее развитие теории бы­ло продолжено в XIX в. Н.И. Лобачевским и другими учеными.

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть — учение о тригонометрических функциях — является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть — решение треугольников — рассматривается как глава геометрии (плоской и сферической).