uzluga.ru
добавить свой файл
1 2
УДК 514.132.01

КОМПОЗИЦИИ ДВУХ ОСЕВЫХ СИММЕТРИЙ

ПРИ РАЗЛИЧНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ ПРЯМЫХ

В ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВКОГО

Федорова Екатерина Михайловна,

магистр 2 года обуч.,

Пермский Государственный Педагогический Университет,

Anapakate@yandex.ru


Изучаются осевые симметрии и их композиции при различном расположении прямых на плоскости Лобачевского, выясняются их свойства.


Геометрия плоскости Лобачевского строится на основе обобщения аксиоматики геометрии Д. Гильберта [1], [2], [3]. Иллюстрации полученных результатов проверяются на первой модели Пуанкаре плоскости Лобачевского [4], [5]. Так как основным движением является осевая симметрия, то рассмотрим ее свойства.

Точки и называются симметричными относительно заданной прямой , если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку . Каждая точка прямой симметрична сама себе.

Определение 1. Преобразование плоскости, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной прямой , называется осевой симметрией с осью и обозначается .



Так как результаты будем проверять на первой модели Пуанкаре, то была выполнена следующая интерпретация осевой симметрии на модели.


Рис. 1

Рис. 2















  1. если изображается евклидовым лучом, то получим евклидову осевую симметрию (рис. 1);

  2. если изображается полуокружностью, то получим инверсию относительно полуокружности : (рис. 2).

Рассмотрим композиции двух осевых симметрий при различном расположении прямых.

Если даны две прямые и , такие, что:

  1. , то результатом композиции будет тождественное преобразование:

  2. , то композиция обладает следующими свойствами (рис. 3):








– неподвижная,

Вывод: и лежат на одной окружности с центром , результатом композиции будет поворот .

Рассмотрим необходимые определения понятий и их уже известные свойства, которые будем использовать для исследования данной композиции.

Определение 2. Поворотом плоскости около данной точки на заданный ориентированный угол величины называется преобразование плоскости, которое точку отображает на себя, а всякую другую точку отображает на такую точку , что и ориентированный угол имеет величину . Точка называется центром поворота, а величина углом поворота.

Рассмотрим некоторые свойства поворота:

  1. Поворот плоскости является движением.

  2. Поворот, как любое движение, отображает прямую на прямую, луч на луч, отрезок на отрезок.

  3. Ориентированный угол между лучом и его образом при повороте равен углу поворота.

Поворот можно задать центром и углом или двумя прямыми и , пересекающимися в центре поворота, угол между которыми равен половине угла поворота [6], [7], [8].

Определение 3. Окружностью с центром и радиусом называется множество всех точек, удаленных от точки на расстояние .



Некоторые свойства окружности:

  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

  3. Окружность симметрична относительно любой своей оси.

  4. В каждой точке окружности существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания.

  5. Серединный перпендикуляр к любой хорде окружности является ее осью.

Докажем, что если два серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются, то около такого треугольника можно описать окружность и только одну.

Пусть серединные перпендикуляры к сторонам соответственно (рис. 4) и пусть По свойствам серединного перпендикуляра и

Отсюда и Итак, точки и равноудалены от точки , т.е. лежат на одной окружности. Очевидно, эта окружность единственная.

Самостоятельно был доказан следующий факт. Пусть (рис. 5). Докажем, что найдется такая прямая , что и

Рассмотрим треугольник равнобедренный, проведем медиану

Медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является высотой и осью симметрии основания. Таким образом,

Докажем, что окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр.

Пусть даны окр и прямая и пусть . Рассмотрим (рис. 6). Очевидно, Если произвольная точка и то т.е. Так как то, обратно, каждая точка является прообразом некоторой точки . Итак,

Из доказанного выше вытекает второе определение окружности.

Определение 4. Окружностью называется множество точек, попарно симметричных относительно пучка пересекающихся прямых.

Прямые этого пучка называются осями окружности.

Известен тот факт, что не все свойства окружности евклидовой плоскости имеют место на плоскости Лобачевского. Например, теорема о том, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым углом, неверна на плоскости Лобачевского.

Пусть ее диаметр, (рис. 7). Треугольники и равнобедренные, следовательно, и .

Отсюда

Но

Следовательно, [1], [9].


Таким образом, были построены образы точек при повороте на модели Пуанкаре.









  1. в некотором направлении.

Дадим определение параллельных прямых в плоскости Лобачевского.

Определение 5. Пусть и две ориентированные прямые. Прямая называется параллельной а относительно В в данном направлении, если



              1. для любой точки любой внутренний луч из угла пересекает

Обозначение:

Известно, что данное определение не зависит от выбора точки Приведем доказательство этого факта.

Пусть и для некоторой точки любой внутренний луч из угла пересекает . Покажем, что это же будет верно для любой другой точки Для точки возможны случаи:

  1. предшествует ;

  2. следует за.

Рассмотрим эти случаи:

  1. Если внутренний луч из то является либо внутренним лучом из либо либо внутренний луч из В первом случае пересекает по условию, во втором случае пересекает . В третьем случае пересекает отрезок (так как его концы лежат на разных сторонах этого угла), поэтому пересекает (рис. 10)

  2. В этом случае Следовательно, любой внутренний луч из является внутренним лучом и для поэтому пересекает (рис. 11).



Рассмотрим следующее утверждение. Если и , то .

Для точки возможны два случая:

  1. предшествует




  2. следует за

Очевидно, .Докажем, что любой внутренний луч из пересекает . Предположим противное. Пусть в нашелся внутренний луч , не пересекающийся с

  1. Пусть и (рис. 12). Очевидно, . Так как предшествует то Следовательно, внутренний луч для Тогда должен пересекать Но точки и лежат по разные стороны от . Прямые и не пересекают проходят через и соответственно, поэтому и лежат по разные стороны от . Следовательно, прямая не может пересекать . Получили противоречие. Отсюда следует, что любой внутренний луч из пересекает

  2. Так как фигура лежит в то все точки луча лежат в Пусть Тогда внутренний луч для поэтому должен пересекать (рис. 13). Но Прямая не может пересекать иначе пересекла бы либо либо (по аксиоме Паша), что невозможно. Следовательно, Так как и прямая лежат по одну сторону от то и прямая лежат по разные стороны от прямой , т.е. Получили противоречие. Следовательно, и в этом случае внутренний луч из пересекает

Из доказанного выше следует, что в определении параллельных прямых слова «относительно точки» можно опустить.

Определение 6. Пусть и две ориентированные прямые. Прямая называется параллельной а в данном направлении, если



                1. для любых точек любой внутренний луч из пересекает .

Обозначение [1], [8].

Рассмотрим необходимые определения понятий и их уже известные свойства, которые будем использовать для исследования данной композиции.

Определение 7. Орициклом называется множество точек плоскости попарно симметричных относительно прямых пучка параллельных в данном направлении прямых. Данный пучок называется определяющим пучком орицикла.

Известно, что если параллельна в данном направлении, то существует такая прямая что параллельна в том же направлении и

Проведем прямые параллельные в данном направлении (рис. 14). Прямые принадлежат одному пучку.

При этом прямая равного наклона для и прямая равного наклона для и

Следовательно, прямая равного наклона для и (по свойствам прямых равного наклона). Но это значит, что и симметричны относительно серединного перпендикуляра к и прямые и параллельны.

Следствие 1. Орицикл вполне задается определяющим пучком и одной точкой.

Следствие 2. Через любую точку плоскости для данного пучка проходит орицикл и только один.

Следствие 3. Орицикл симметричен относительно любой прямой определяющего пучка.

Пусть произвольная точка и Тогда

Прямые и принадлежат одному пучку параллельных прямых. Этот пучок определяет проходящий через точку орицикл . По свойствам орицикла точки и лежат на этом же орицикле. Итак, и лежат на одном орицикле, определяющему пучку которого принадлежат и .

Итак, результатом композиции будет движение, которое называют

следующая страница >>