uzluga.ru
добавить свой файл
1

Колебательное движение точки


Колебательное движение возникает в том случае, если при отклонении точки от положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть точку в исходное положение. Такая сила называется восстанавливающей (сила ). Кроме восстанавливающей силы на точку может действовать сила сопротивления или сила трения и периодическая возмущающая сила . В зависимости от действующих сил различают следующие виды колебания:

1) свободные колебания: на точку действует только восстанавливающая сила;

2) затухающие колебания: действует восстанавливающая сила и сила сопротивления;

3) вынужденные колебания: действует восстанавливающая сила и периодическая возмущающая сила;

4) вынужденные колебания с сопротивлением – в этом случае действуют все три упомянутые силы.

Рассмотрим свободные колебания.





Введем обозначение



Запишем начальные условия:



Тогда



Решение можно преобразовать к виду:



Возведем в квадрат (1) и (2) и сложим:



Величину А называют амплитудой, (kt +φ) – фаза колебаний; φ – начальная фаза; k – круговая или циклическая частота, – период колебаний, – частота колебаний.

В качестве примера рассмотрим колебания груза на пружине. За начало отсчета берем положение равновесия груза на пружине, l0 – длина пружину без груза, λстстатическая деформация пружины, x – отклонение груза от положения равновесия.



Затухающие колебания

На точку действуют силы и .



Дифференциальное уравнение в этом случае:



Тогда дифференциальное уравнение примет вид:



При больших силах сопротивления, когда – корни характеристического уравнения являются действительными числами, причем . В этом случае возникает так называемое апериодическое движение.

Рассмотрим случай



Решение можно привести к виду



Рассмотрим величину двух последовательных отклонений от положения равновесия An и An+1.

Рассмотрим их отношение:



Особенности затухающих колебаний:

1) При затухающих колебаниях амплитуда изменяется по экспоненциальному закону.

2)

При затухающих колебаниях частота колебаний меньше, чем при свободных колебаниях, а период колебаний больше.



Вынужденные колебания





Решим его:



При вынужденных колебаниях результирующая движения складывается из трех частей:

1) свободные колебания;

2) колебания с частотой, равной собственной частоте, вызванные возмущающей силой;

3) вынужденные колебания с частотой возмущающей силы.

Последняя величина представляет собой особый интерес.

Если k > P, то колебания называют – вынужденные колебания малой частоты, в этом случае фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой вынуждающей силы.

Если P > k, колебания называются вынужденными колебаниями большой частоты, коэффициент перед sin(Pt + δ) становится отрицательным и фаза вынужденных колебаний отличается от фазы вынуждающей силы на величину π.

Найдем отношение амплитуды А к величине статического отклонения системы, которая называется силой P = H.



Когда частоты P и k близки друг к другу возникает явление, которое называется явление биений.



Рассмотрим только две составляющие из общего решения.




Явление резонанса



Вынужденные колебания в этом случае имеют амплитуду, которая возрастает по линейному закону.

Вынужденные колебания при наличии сопротивления

– восстанавливающая сила;

– сопротивление.



Общее решение уравнения рассматривалось выше, решение имеет вид:



При n > k решение имеет апериодический характер.

Найдем частное решение



Подставим в уравнение:





При наличии сопротивления колебания с собственной частотой k сравнительно быстро затухают и остаются только колебания с частотой вынуждающей силы, амплитуда которых постоянна.



Понятие о параметрических колебаниях и параметрическом резонансе

Во многих случаях наблюдается явление, когда какой-либо из параметров системы изменяется по периодическому закону. В этом случае возможно возникновение колебаний в системе, такие колебания называются параметрическими, возможно также возникновение резонансных явлений. В этом случае говорят о параметрическом резонансе.

Примером параметрического резонанса служит раскачивание на качелях.

При вращательном движении:



Параметрический резонанс отличается от обычного рядом особенностей.

1) При параметрическом резонансе существует не одна резонансная частота, а набор частот. Основная резонансная частота равна m = 2k.

2) При параметрическом резонансе амплитуда растет по экспоненциальному закону.

С энергетической точки зрения при обычном резонансе за 1 период поступает одно и тоже количество энергии, а при параметрическом резонансе количество поступающей энергии зависит от амплитуды.

3) При наличии сопротивления при обычном резонансе амплитуда возрастает до некоторого значения, при котором возникает равновесие между количеством поступающей энергии и энергии, теряемой на трение.

При параметрическом резонансе амплитуда растет до бесконечности, т.к. количество поступающей энергии растет с увеличением амплитуды.