uzluga.ru
добавить свой файл
  1 2 3
=3 при измерении круга нередко применялось в обиходе землемеров и в учебниках математики многие столетия после «Математики». Вероятно, это значение было получено сначала отдельно для длины окружности и для площади круга, без осознания связи между обеими величинами. Быть может, совпадение значений пи в обоих случаях явилось сперва результатом эмпирических или полуэмпирических измерений; например, круг принимали равновеликим – описанного квадрата, а окружность — равной периметру правильного вписанного шестиугольника. Составителям «Математики в девяти книгах» зависимость между длиной окружности и площадью круга была уже известна. Но они же при вычислении объема шара пользовались правилом, соответствующим другому значению = , очевидно, не связывая еще квадратуру круга с кубатурой шара.

В I-III веках китайские астрономы и математики, возможно, под влиянием идей, проникавших из Греции через Индию, провели ряд исследований, посвященных более точному вычислению . Астроном и философ Чжан Хен (78—139) на основании не известных нам соображений заключил, что квадрат длины окружности относится к квадрату периметра описанного около нее квадрата, как 5 : 8, что соответствует , т. е. 3,162... Это изящное приближение, имеющее погрешность менее 1 %, употреблялось затем в Китае неоднократно.

Ученый полководец Ван Фань (ум. 267) получил несколько лучшее приближение = т. е. 3,155... Как он нашел этот результат, мы не знаем. Зато мы осведомлены о вычислении Лю Хуэя. В комментарии к первой книге «Математики» Лю Хуэй применил способ, впервые предложенный Архимедом и основанный на приближении площади круга последовательностью площадей вписанных правильных k2n-угольников. Сперва вычисляются стороны таких многоугольников, начиная с шестиугольника, а затем их площади, причем последние вычисляются приближенно: стороны умножаются на радиус. Все сводится, таким образом, к применению теоремы Пифагора и извлечению квадратных корней. Точность результата Лю Хуэй оценивал, основываясь на том, что площадь круга меньше площади фигуры, составленной из правильного вписанного многоугольника описанных вокруг остаточных сегментов круга прямоугольников, построенных на сторонах многоугольника. Именно, он использовал неравенства где S – площадь круга, Sn и S2n – площади правильных многоугольников с числом сторон n и 2n.

Продолжив вычисление до 3072-угольника, он нашел более точное приближение, в десятичных дробях равное 3,14159.


Задача № 1.

На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах вне его построены полукруги. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.


Решение:

Докажем, что S=S1+S2. Пусть один из катетов прямоугольного треугольника равен х, а другой катет равен у, тогда гипотенуза по теореме Пифагора равна

Найдём S1, S2 и S. Т.к. радиус первой окружности равен х/2, а радиус второй окружности равен у/2, а радиус третьей окружности равен ,

то S1=, S2=, S=,

S1+S2=+=. Что и требовалось доказать.


Задача № 2.

Дан квадрат со стороной, равной 1. Найдите площадь закрашенной фигуры.




Решение: Найдём площадь квадрата: S=1.

Площадь S+S1= ¼ площади окружности с радиусом равным 1.

Найдём ¼ площади окружности: S+S1=/4

Наёдём площадь S2=площадь квадрата – площадь S+S1

S2=1-/4

Для того, чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, вычтем из площади квадрата площади S1 и S2. Получим: S=1-2(1-/4)=1-2+/2=/2-1.

Ответ:

Задача № 3.

Дуги описанных окружностей, ограничивающие стороны правильных многоугольников, отображены симметрично относительно этих сторон. Найдите:

1) площади закрашенных фигур, если сторона многоугольника равна 1;

2) найдите площадь аналогичной фигуры для правильного пятиугольника; правильного n - угольника.




Ответ: 1) Площадь трёхлепестковой фигуры равна разности между утроенной площадью кругового сегмента и площадью треугольника. Утроенная площадь кругового сегмента равна разности между площадью круга и площадью треугольника. Таким образом, искомая площадь равна .

2) Площадь закрашенной фигуры равна разности между удвоенной площадью многоугольника и площадью круга.

Задача № 4.

Около квадрата со стороной 1 описана окружность, а на его сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найдите площадь закрашенной фигуры.


Ответ: 1.

Задача № 5.

Построены три дуги окружностей с центрами и концами в вершинах правильного треугольника со стороной 1. Найдите площадь полученной фигуры.

Ответ: .

Задача № 6.

На сторонах а, b, с прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ:


Задача № 7.

Диаметр 2R окружности разделен на четыре равных отрезка. На полученных отрезках построены полуокружности. Вычислите площади закрашенных фигур. Вычислите длину контура каждой закрашенной фигуры.

Ответ:

Задача № 8.

Шесть кругов равного радиуса R касаются круга такого же радиуса и попарно друг друга. Кольцо касается шести кругов, и его площадь равна площади семи данных кругов. Найдите ширину кольца.

Задача № 9

Три равные окружности касаются друг друга и окружности радиуса R. Найдите их радиусы. Решите эту задачу для четырех, пяти, восьми окружностей.




Ответ: Радиус х окружностей можно найти из уравнения , где n – число окружностей.

Задача № 10.

В треугольник вписана окружность радиуса r проведены касательные, параллельные сторонам треугольника. В треугольники, отсеченные касательными, вписаны окружности, радиусы которых r1, r2 и r3. Докажите, что r1+r2+r3=r .

Мысленно проделайте описанную процедуру с каждым из трех отсеченных треугольников и т. д. Найдите сумму радиусов получившихся окружностей на каждом этапе.

Ответ: Если ha, hb, hc – высоты данного треугольника, то соответственные высоты малых треугольников будут равны ha-2r, hb-2r, hc-2r. Из подобия этих треугольников данному найдите сумму отношений , заменив их отношениями высот.



<< предыдущая страница