uzluga.ru
добавить свой файл
  1 2 3

Библиография


1 автора


Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика [Текст]: – 3-е изд., испр. и доп.– М.: Педагогика-Пресс, 1997, с.271.


2 автора


Прохоров, Ю.В. Математический энциклопедический словарь[Текст]: - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с.

3 автора


Коксетер, С.М. Новые встречи с геометрией[Текст]: -М:Наука,1978.

4 автора


Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии[Текст]: Ч. 2. Гл. 28. Инверсия. М., Наука, 1986.

5 автора


Яглом, И.М. Окружности. Энциклопедия элементарной математики [Текст]: Кн. IV. М., Гостехиздат, 1963.-124с.

6 автора


Манин, Ю.И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки [Текст]: Энциклопедия элементарной математики, , М., Физматгиз, 1963. — 568с.

7 автора

Цукарь, А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 9 класса, [Текст]:- М.: Просвещение, 2000.- 65 с.


Библиографическое описание документа из Internet


Приложение


Метод инверсии, использованный в решении задачи Аполлония


Пусть дана окружность радиуса г с центром в точке О. Инверсией относительно этой окружности называется такое преобразование плоскости, когда каждой точке М плоскости, отличной от точки О, ставится в соответствие точка М1, лежащая на луче ОМ на расстоянии г2/ОМ от точки О. Точка О называется центром инверсии, а число г2 — степенью или коэффициентом инверсии.

Инверсию еще называют преобразованием обратными радиусами, а также симметрией относительно окружности. Она была введена в 1830 году немецким математиком Л. Магнусом, однако встречается и в трудах самого Аполлония, например в сочинении «О плоских геометрических местах. После своего второго рождения инверсия оказалась мощным инструментом в математических исследованиях.

Рассмотрим ряд свойств инверсии.

1. Точки на выбранной нами окружности при инверсии переходят в себя; точки, лежащие внутри окружности, переходят во внешние точки (кроме точки О), а внешние точки — во внутренние.

2. Если при инверсии фигура Ф переходит в фигуру Ф1, то фигура Ф1 переходит в фигуру Ф.

3. При инверсии точки, лежащие на прямой, проходящей через центр инверсии, переходят в точки, лежащие на этой же прямой.

Эти три свойства очевидны из определения инверсии. Термин «симметрия» применяется к инверсии в силу ее первого и второго свойств.

Заметим, что инверсия не определяет, куда переходит точка О — центр выбранной нами окружности. Если бы мы дополнили плоскость еще одной точкой Р — бесконечно удаленной, то можно было бы сказать, что при инверсии точка О переходит в точку Р, а точка Р — в точку О. Тогда и любые две прямые пересекались бы в точке Р. Вероятно, теперь легче будет понять следующее, четвертое, свойство инверсии.

4. Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Докажем это:

Опустим из точки О перпендикуляр на прямую (рис. 13).

Найдем для точки Р основания перпендикуляра — точку Р1, в которую она переходит при инверсии. Пусть теперь М — произвольная точка данной прямой, и М1 — точка, в которую она переходит при инверсии. Тогда из соотношений OPOP1=r, OMOM1=r2

следует, что откуда вытекает, что треугольники ОРМ и ОМ1Р1 подобны (угол при вершине О у них общий, а заключающие его стороны пропорциональны). Значит, ОМ1Р1 = ÐОРМ=9О° и точка М1 лежит на окружности, построенной на отрезке ОР1 как на диаметре. Нетрудно заметить, что это доказательство не зависит от того, пересекает прямая окружность, относительно которой производится инверсия, или не пересекает.

5. Окружность, проходящая через центр инверсии, переходит при инверсии в прямую, не проходящую через точку О.

6. Окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит при инверсии в окружность.

Действительно, проведем через точку О и центр данной окружности прямую. Пусть А и В-концы соответствующего диаметра этой окружности (рис. 14),




Рис.14


М - произвольная точка на ней. Обозначим через А1, В1 и М1 точки, в которые переходят точки А, В и М при инверсии. Из соотношений ОАОА1 =r2, OВOВ1 =r2, следует, что .

Значит, треугольники ОАМ и ОА1М1, также ОВМ и ОВ1M1 подобны (угол три вершине О общий, а стороны, его заключающие, пропорциональны) Отсюда следует: ÐMBO=ÐB1M1O, ÐMAO=ÐA1M1O, но ÐMAO=ÐAMB+ÐMBO, ÐAMB=900; ÐА1М1O=ÐВ1М1O+ÐА1М1В1

Отсюда: Ð А1М1В1 =ÐAMB=900, а точка М1 лежит на окружности с диаметром А1 В1.

Если рассмотреть свойства № 3 - 6 в совокупности, то можно сделать вывод: при инверсии каждая окружность или прямая переходит в окружность или прямую.

Таким образом, при инверсии прямые и окружности равноправны — и те и другие могут переходить как в окружности, так и в прямые.


Гиппократовы луночки




Рис.15

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры, известных под названием «гиппократовых луночек». Исследования Гиппократа опираются на теорему о том, что в кругах площади подобных сегментов пропорциональны квадратам диаметров.

Первая из квдрируемых луночек вырезана из полукруга дугой радиуса опирающейся на диаметр. Площадь луночки оказывается равной площади равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит диаметр круга (рис. 14). Разновидностью этого результата является теорема о том, что если на сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построить окружность, то сумма площадей луночек, опирающихся на катеты, будет равна площади треугольника.

Другой вид луночек получается, когда вокруг трапеции со сторонами 1, 1, 1, описывают окружность, а на хорде строят сегмент, подобный сегментам, отсекаемым остальными хордами. Площадь полученной луночки равна площади исходной трапеции. Наконец, внешняя дуга третьей луночки меньше полуокружности.

В полукруг с диаметром |BC| вписан равнобедренный прямоугольный треугольник BAC (|BC|=|AC|). На |AB| и |AC|, как на диаметрах, описываются полуокружности. Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками.

По теореме Пифагора:


|BC|2=|AB|2+|AC|2=2|AC|2

                                

Отношение  площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров , которые в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора OAC ровна площади полукруга, построенного на диаметре |AC|. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что площадь треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал свои изыскания  в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.

Д. Бернулли заинтересовался древней неразрешимой задачей квадра­туры круга просуществовавшей многие века, будоража умы математиков всех времен. Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) пы­тался справиться с квадратурой круга при помощи квадрируемых фигур, ограниченных дугами двух окружностей, названных гиппократовыми луночками. Такую лу­ночку можно, например, постро­ить следующим образом: возьмем четверть круга радиуса r и на хор­де АС, соединяющей концы ради­усов ОА и ОС, опишем как на диаметре внешнюю по отношению к четверти круга полуокружность.

Тогда АС=r√2  и площадь четверти большего круга будет такой же, как площадь меньшего полукруга, т. е. πr2/4.

Пусть S—площадь луночки, S1, S2, S3, S4, —площади соответственно меньшего полукруга, сегмента АС, четвер­ти большего круга, треугольника ОАС. Найдем

S=S1-S2,   S2=S3—S4,

поэтому

S= πr2/4- (πr2/4-S4) =S4.

Итак, S=r2/2. Это значит — луночка квадрируема.

Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Д. Бернулли в «Математических упражнениях» указал условие, которому должны удовлетворять алгебраически квадри­руемые луночки, и привел уравнение, дающее четвертую квадрируемую луночку.

Однако луночки Гиппократа задачу о квадратуре кру­га вперед к решению не продвинули: в 30—40-х годах XX в. И. Г. Чеботаревым и А. В. Дородновым доказано, что существует пять видов квадрируемых луночек, но они не квадрируемы вместе с кругом.

Появление Гиппократовых луночек вызвало естественные вопросы: как велик класс квадрируемых луночек? Все ли их виды найдены? Существуют ли другие луночки, площади которых тоже выражаются с помощью квадратичных иррациональностей через входящие в их построение линейные элементы? Однако ответ на эти вопросы тоже был получен спустя много веков. Только в 1840 г немецкий математик Клаузен нашел еще две квадрируемые луночки. Вопрос о луночках был полностью исследован только в ХХ в., когда советские математики Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов, пользуясь методами теории Галуа, показали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг луночек соизмеримы, то других квадрируемых луночек, кроме найденных, не существует.


Число Пи

Пи, , буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения определённого иррационального числа, именно — отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение (вероятно, от греч. окружность, периферия) стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706). Как и всякое иррациональное число, представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: = 3,141592653589793238462643...

   Нужды практических расчётов, относящихся к окружности и круглым телам, заставили уже в глубокой древности искать для приближений с помощью рациональных чисел. Древнеегипетские вычисления (2-е тысячелетие до нашей эры) площади круга соответствуют приближённому значению = 3 или, более точному, = (16/9)2 = 3,16049... Архимед (3 в. до н. э.), сравнивая окружность с правильными вписанными и описанными многоугольниками, нашёл, что заключается между

    = 3,14084... и  = 3,14285  (последним из этих приближений до сих пор пользуются при расчётах, не требующих большой точности). Китайский математик Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 в.) получил для приближение 3,1415927, вновь найденное в Европе значительно позднее (16 в.); это приближение даёт ошибку лишь в 7-м десятичном знаке. Поиски более точного приближения продолжались и в дальнейшем, например Аль-каши (1-я половина 15 в.) вычислил 17 десятичных знаков , голландский математик Рудольф Ван Целен (начало 17 в.) — 32 десятичных знака. Для практических надобностей, однако, достаточно знать несколько десятичных знаков числа и простейших выражений, содержащих ; в справочниках обычно даются приближённые значения для , 1/ и 2, lg с 4—7 десятичными знаками.

В наши дни с помощью ЭВМ число p вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков числа p (p =3,141592653...) вполне достаточно для всех практических целей. Долгое время в качестве приближенного значения я использовали число 22/7, хотя уже в V в. в Китае было найдено приближение 355/113 == 3,1415929..., которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI в. В Древней Индии p считали равным =3,1622.... Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. я с 9 знаками. Голландский математик Рудольф  Ван  Целен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда - число p, вычисленное с 32 знаками.

Но все эти уточнения значения числа л производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника— больше. Но при этом оставалось неясным, является ли число рациональным.

Теперь известно, что число -отношение окружности к своему диаметру – число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926… было, между прочим, вычислено с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим.

Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение построением. Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто, убедившись доказательствами Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор ещё надеется, что можно найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить приближенное значение пи, удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки.

Значение

<< предыдущая страница   следующая страница >>