uzluga.ru
добавить свой файл
1
Исследование поверхностей вращения в трехмерном евклидовом пространстве.

Т.В. Медникова

Руководитель: к.п.н., профессор А.В. Бобровская

Понятие поверхности вращения является одним из важнейших в аналитической и дифференциальной геометрии. С древнейших времен люди интуитивно использовали это понятие, не имея его четкого определения. Изучение поверхностей вращения, их классификация в евклидовом трехмерном пространстве - важный шаг в развитии геометрии и связанных с ней наук. Для формирования четкого представления о поверхностях вращения необходимо систематизировать способы получения поверхностей вращения, разработать алгоритмы исследования, провести классификацию поверхностей.

В исследовании свойств поверхностей вращения мы отдали предпочтение первой и второй квадратичным формам. Первая квадратичная форма, позволяющая вычислять длины кривых на поверхности, углы между ними и площади областей поверхности, характеризует внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Вторая квадратичная форма дает возможность нахождения нормальной кривизны кривых на поверхности, позволяя классифицировать точки на поверхности по виду индикатрисы Дюпена.

Нами исследована роль второй квадратичной формы в классификации поверхностей вращения трехмерного евклидова пространства. В основу исследования положено вычисление гауссовой кривизны поверхностей второго порядка через дискриминант второй квадратичной формы. Проведенные исследования позволили выделить среди поверхности вращения на два класса, в первом из которых гауссова кривизна непостоянна и зависит от направления кривой в данной точке, а во втором – принимает постоянное значение во всех точках поверхности. Во втором классе выделились две поверхности: сфера – поверхность, получаемая вращением окружности вокруг ее диаметра, и псевдосфера – получаемая вращением трактрисы вокруг ее базы (Рис.1):

Линия

Окружность

Трактриса







Поверхность

Сфера

Псевдосфера








Рис.1

Разработанный нами алгоритм нахождения полной кривизны сферы и псевдосферы содержит следующие этапы:

Этапы

Поверхности

Первые производные от векторной функции

Сфера



Псевдосфера





Коэффициенты первой квадратичной формы

Сфера







Псевдосфера





Дискриминант первой квадратичной формы

Сфера



Псевдосфера



Вторые производные от векторной функции

Сфера







Псевдосфера





Коэффициенты второй квадратичной формы

Сфера

;



Псевдосфера

; ;

Дискриминант второй квадратичной формы

Сфера



Псевдосфера



Гауссова кривизна поверхности

Сфера



Псевдосфера



Как видно из реализованного алгоритма, полные кривизны сферы и псевдосферы не зависят от параметров u и v , являясь константами. Все другие исследованные поверхности вращения имели зависимость гауссовой кривизны от направления на поверхности.

Эффективность разработанного алгоритма подтвердилась многочисленными исследованиями поверхностей вращения. Проведенная исследовательская работа, связанная с поиском путей классификации поверхностей вращения второго порядка, имеет практическую значимость для науки. Разработка алгоритмов составления параметрических уравнений поверхностей вращения, а также средств для исследования поверхностей вращения второго порядка, позволяют систематизировать представления о поверхностях в трехмерном евклидовом пространстве и классифицировать их с использованием средств дифференциальной геометрии.