uzluga.ru
добавить свой файл
1
Интерполяция


Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в нескольких точках отрезка восстановить её значения в остальных точках этого отрезка.

Такие задачи возникают в том случае, когда, например известны результаты измерения некоторой физической величины в точках , к=0,1,…, n и требуется определить её значения в других точках. Иногда возникает необходимость замены данной функции другими функциями, которые легче вычислять, если, например данная функция громоздка ( содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.п. )

Итак, пусть на [ a, b ] заданы точки , к=0,1,…, n назовём их – узлы интерполирования в которых известны значения функции .

Говорят, что функция интерполирует функцию , если выполняются условия их значения в узлах интерполирования совпадают.

Эти условия называют условия интерполяции.

Наиболее удобно в качестве интерполирующей функции брать многочлен, скажем многочлен степени

- имеет коэффициент. Надо подобрать эти коэффициенты так, чтобы выполнялись условия интерполяции

.

Имеет уравнение для поиска неизвестных , т.е. степень интерполирующего многочлена должна быть на 1 меньше количества узлов.

Неизвестные у нас коэффициенты , а - известны, это узлы интерполяции, т.е. некоторые числа, константы.

Матрица коэффициентов этой, линейной относительно неизвестных

, системы имеет вид:

Система имеет решение, если её определитель не равен нулю. Определитель её отличен от нуля если среди точек нет совпадающих.

Следовательно, чтобы можно было построить интерполяционный многочлен, необходимо потребовать, чтобы узлы интерполяции не совпадали!

Можно решить эту систему уравнений каким – либо методом, допустим, методом Гаусса, получить значения коэффициентов и интерполяционный многочлен будет построен. Но есть специальные способы построения интерполяционного многочлена.

Рассмотрим построение интерполяционного многочлена по формуле Лагранжа.

Она имеет следующий вид:

- многочлен степени n.

- некоторые, неизвестные пока функции такие, чтобы выполнялись условия интерполяции:

- известные нам значения функции в узлах интерполяции.






……………………………………........……………………………….



Эти соотношения будут выполнены, если функции будут удовлетворять условиям:



т.е. каждая из функций имеет не менее нулей на отрезке следовательно, в качестве функций можно взять многочлены степени .

Построить многочлен, который обращается в нуль в конкретных точках





………





………



не составляет труда



из условия находим коэффициент



Таким образом, коэффициенты интерполяционного многочлена Лагранжа находятся по формулам:



А сам многочлен Лагранжа степени имеет вид:

( 1 )


ПРИМЕР:

Интерполировать по двум узлам










интерполировали параболу биссектрисой .

От чего зависит точность интерполяции ? От количества узлов. Интерполяционные многочлены строят обычно не более, чем по 10 узлам. Точность интерполяции совершенно не зависит от порядка узлов!