uzluga.ru
добавить свой файл
1

ГРУППЫ ЛИ И АЛГЕБРЫ ЛИ


проф. А.В. Болсинов

1 год, 3-5 курс

1. Понятие группы Ли и алгебры Ли. Примеры. Топологические и метрические пространства. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.

2. Гладкие многообразия. Гладкие отображения. Касательное пространство и дифференциал. Векторные поля и коммутатор векторных полей. Теорема о неявной функции.

3. Определение группы Ли. Теорема: любая линейная алгебраическая группа является группой Ли. Примеры матричных групп Ли. Группы, сохраняющие формы.

4. Алгебра Ли группы Ли. Три различных определения. Что получается в матричном случае. Доказательство эквивалентности трех определений в общем случае.

5. Основные понятия из теории динамических систем: векторные поля, однопараметрические группы диффеоморфизмов, полнота, потоки. Левоинвариантные векторные поля и их траектории. Их полнота. Однопараметрические подруппы как траектории левоинвариантных векторных полей, проходящих через единицу группы.

6. Экспоненциальное отображение и его свойства. Случай матричных групп. Гомоморфизмы групп Ли и ассоциированные с ними гомоморфизмы алгебр.

7. Действия групп Ли и их линейные представления. Основные понятия: орбиты, стационарные подалгебры, векторные поля, отвечающие элементам алгебры Ли.

8. Группа диффеоморфизмов как бесконечномерная группа Ли и ее алгебра Ли. Коммутатор в этой алгебре Ли (знак минус). Производная Ли и присоединенное представление группы диффеоморфизмов.

9. Теоремы о связи групп Ли и алгебр Ли. Фундаментальная группа группы Ли. Вопросы неодносвязности.

10. Однородные пространства групп Ли. Примеры.

11. Нильпотентные алгебры Ли и нильпотентные представления. Теорема Ли-Энгеля.

12. Разрешимые алгебры Ли. Теорема Ли. Радикал алгебры Ли. Полупростые алгебры Ли и форма Картана-Киллинга. Формулировка теоремы Мальцева о разложении.

13. Структура полупростых алгебр Ли. Подалгберы Картана, системы корней, группы Вейля. Классификация простых комплексных алгебр Ли.

14. Компактные группы Ли и компактные алгебры Ли. Биинвариантная метрика на компактной группе Ли и ее геодезические.

15. Компактные симметрические пространства. Вещественные формы комплексных полупростых алгебр Ли и инволюции Картана.