uzluga.ru
добавить свой файл
1
В.В. Лакшина, А.М. Силаев


ФРАКТАЛЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ФИНАНСОВЫХ
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ



Поведение финансовых рынков весьма трудно поддается прогнозированию. В связи с этим возникает необходимость построения новых моделей описания ценообразования финансовых активов, основанных, прежде всего, на эмпирически выявленных свойствах.

Фракталы – это эффективный инструмент для построения финансовых моделей и количественной оценки свойств финансовых рядов, потому что свойства, присущие финансовым рядам, естественным образом вытекают из самой природы фракталов, а не введены в модель искусственно. К тому же фракталы присутствуют во многих природных явлениях, что подтверждено в работе примерами из геологии, гидрологии и экономики.

Целью работы является установление соответствия между эмпирическими фактами финансовых рядов и определенными типами фракталов. В 1987 г. французский математик Б. Мандельброт ввел понятие «фрактал». Общепринятого значения этого слова нет, по нестрогому определению Мандельброта: «Фрактал – структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому»1.

Приведённое определение отражает важный отличительный признак фрактальных объектов, а именно свойство масштабной инвариантности, т.е. степень их неправильности или фрагментации неизменна во всех масштабах. Другими словами, при изменении масштаба наблюдатель видит ту же самую картину, что и вначале (для регулярных фракталов), или статистически подобную исходной (для случайных). Существует множество разновидностей фракталов, применяемых в различных отраслях знаний, но экономистов интересуют, прежде всего, фракталы, которые моделируют движение цены.

Основной характеристикой фракталов является хаусдорфова размерность, которая в отличие от топологической может быть дробной. Существует несколько способов её измерить. Приведём способ, применявшийся при измерении длины береговых линий. Он заключается в измерении длины линии при различных масштабах и построении полученных точек в логарифмических осях. Если график есть прямая, то объект – фрактал с размерностью , равной разности единицы и наклона этой линии:

.

Убедимся теперь, что финансовые временные ряды действительно являются фракталами и посчитаем их размерность.

В качестве примера была взята цена акций компании Аэрофлот
за 2008–2011 гг. Строились графики движения цен в зависимости от времени для разных временных масштабов и вычислялась длина получившихся линий .

Результаты для цены акций компании Аэрофлот сведены в табл. 1.


Таблица 1

Цена акций компании Аэрофлот за 2008–2011 гг.


Масштаб

Количество значений

Длина,

5 мин = 1*5 мин

58560

60548,42

10 мин = 2*5 мин

33245

34775,13

15 мин = 3*5 мин

22597

23860,41

30 мин = 6*5 мин

11862

12850,49

1 час = 12*5 мин

6323

7178,02

1 день = 288*5 мин

728

1108,98

1 неделя = 2016*5 мин

152

389,84

1 месяц = 8640*5 мин

36

223,11


Построим график зависимости длины от масштаба в логарифмических осях:





Рис. 1. Длина финансового ряда для цены акций компании Аэрофлот
за 2008–2011 гг. в зависимости от временного масштаба


Полученные точки аппроксимируются прямой с наклоном -0.6188 (коэффициент детерминации 99%). Таким образом, хаусдорфова размерность данного финансового ряда равна 1.6188.

Итак, мы убедились на примере, что рассматриваемые финансовые ряды являются фракталами.

Хаусдорфова размерность необходима для вычисления показателя Херста H:

H = 2 – d,

где d – фрактальная размерность.

Показатель H носит имя Гарольда Эдвина Херста (1880–1978), английского гидролога, работавшего над измерением зависимости между разливами рек в течение длительных периодов времени. Мандельброт выделяет три типа фракталов в зависимости от поведения показателя H:

  • мультифрактал: Н является функцией времени, которая носит имя Гёльдера;

  • унифрактал: неизменность Н;

  • мезофрактал: промежуточный случай.

Известно, что финансовые временные ряды характеризуются так называемыми эмпирическими фактами:

  • тяжёлые хвосты и островершинность в распределении доходностей;

  • эффект дальних корреляций для квадратов доходностей;

  • кластеризация выбросов.

Каждый из вышеуказанных типов фракталов реализует ту или иную закономерность финансовых рядов (рис. 2).


схема дополн чб 2


Рис. 2. Соответствие между эмпирическими фактами и типом фрактала


Поясним эту схему на примере мезофрактала. Частным случаем мезофрактала является процесс Леви. Это случайный процесс, в котором приращения независимы и распределены по степенному закону с показателем h. Это означает, наличие больших выбросов, или резких, скачкообразных изменений цен, и их значимость в сравнении с малыми изменениями – по сути, речь идёт о тяжёлых хвостах. На рис. 3 показана реализация, а на рис. 4 гистограмма логарифмических доходностей процесса Леви. Коэффициент эксцесса равен 21.32, т.е. плотность вероятности доходности негауссова и характеризуется острой вершиной и тяжелыми хвостами.





Рис. 3. Процесс Леви с показателем





Рис. 4. Гистограмма логарифмической доходности процесса Леви


Для сравнения приведём гистограмму логарифмической дневной доходности акций Coca-Cola за 1962–2010 гг. (рис. 5).





Рис. 5. Гистограмма логарифмической дневной доходности

акций Coca-Cola за 1962–2010 гг.

Зададимся теперь вопросом: каким образом можно интерпретировать полученные размерности или, другими словами, что мы можем узнать о финансовом инструменте, посчитав его размерность?

Размерность ряда для цен акций компании Аэрофлот равна d = 1.6188. Полученный в логарифмических осях график представляет собой прямую, её наклон постоянен, поэтому это унифрактал, показатель Херста .

Это означает, что данный финансовый инструмент характеризуется сильной антиперсистентностью, т. е. уменьшение в прошлом говорит об увеличении в будущем и наоборот.

С помощью мезофракталов можно оценить уровень риска того или иного инструмента путем аппроксимации гистограммы модулей приращений доходности степенным распределением с показателем h (см. выше). Для рассматриваемого примера получим hAFLT = 0.09032, что означает большее количество значительных выбросов и, как следствие, высокий уровень риска.

В работе рассмотрено понятие фракталов и их количественная характеристика – хаусдорфова размерность. Четырём основным эмпирическим свойствам финансовых рядов поставлен в соответствие определенный тип фрактала. Вычислена фрактальная размерность для финансового временного ряда. На основании вычисленной размерности выявлены и количественно оценены такие свойства финансовых рядов, как уровень риска и эффект дальних корреляций.

Тот факт, что финансовые ряды являются фракталами, позволяет использовать концепцию фрактальной геометрии в фундаментальных исследованиях по выявлению глубинных закономерностей функционирования финансовых рынков в целом, что, несомненно, является стимулом к дальнейшим изысканиям по данной теме.



1 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.