uzluga.ru
добавить свой файл
1 2 3
ГЛАВА 9


WEB – БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА.


ОТ “МАТЕМАТИКА НА ПРЕСМЯТАНИЯТА” КЪМ “МАТЕМАТИКА НА ИДЕИТЕ И ЛОГИЧЕСКОТО МИСЛЕНЕ”


Резюме: Предлага се ограничаване на предлагане на такива математически задачи, чието решаване се опростява значително с използуване на WEB – математическите ресурси. В замяна на това се предлагат други задачи, които не могат да се решават с компютър и в този смисъл развиват логическото мислене на обучаемите, т. е. преминава се от “математика на пресмятанията” към “математика на логиката и идеите”.

Ключови думи: WEB - базирано обучение по математика, математика на пресмятанията, математика на идеите и логическото мислене, състезания по компютърна математика.


1. Въведение


Преди да пристъпим към излагане на основните съображения за написването на този доклад, посочваме какво разбираме под WEB базирано обучение по математика. Очевидно това е обучение по математика чрез използуване на всички възможни средства, предоставени от глобалните INTERNET – ресурси: математически експлорери (програми) за непосредствено пресмятане и онагледяване на получените резултати; достъп и включване в различни форми за дистанционно обучение по математика, информиране за състоянието на т. н. e – Learning, използуване на електронни учебни пособия и т. н. В момента съществуват огромно количество сайтове, които предоставят такива възможности (фиг. 1). Далеч сме от мисълта да накараме обучаемите да сведат решаването на математическите задачи до натискане на копчета от компютърната клавиатура. Но не можем да не обръщаме внимание на изключително бързото развитие на съвременните информационни технологии, които правят регулярните пресмятания, в това число и символните, лесно достъпни и в този смисъл дори безинтересни.




Search Results

Results 1 - 10 of about 12,400,000 for
web education in mathematics

Фиг. 1. Резултати за съществуващи сайтове в ИНТЕРНЕТ, свързани с WEB – базирано обучение по математика


2. Основни резултати. Oт “математика на пресмятанията” към “математика на логиката и идеите”


Както вече споменахме, възможностите в INTERNET са огромни. Авторът е направил електронен сайт със заглавие “ПРОБЛЕМИ И ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА ПРЕД ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА В УСЛОВИЯТА НА СЪВРЕМЕННИТЕ ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ с електронен адрес: http://free.bol.bg/annatomova/. С помощта на WWW Interactive Multipurpose Server с електронен адрес http://wims.unice.fr , посочен в страницата “Полезни връзки” от сайта, избираме т. н. Function calculator. Без да претендираме за пълно изследване на проблема, след наша проверка се оказва, че практически почти всички регулярни (т. е. без особености) задачи от учебниците и математическите сборници за ВТУЗ от раздела “Диференциално и интегрално смятане на функция на една реална променлива” [1 - 4] могат да бъдат решени с този функционен калкулатор. Нещо повече, например при развитие в ред на Тейлор, с лекота получаваме резултати, които, без функционния калкулатор, биха отнели значително време за пресмятане. Същото се отнася и за построяване на графиките на функции, за пресмятане на неопределени и определени интеграли особено в случая, когато формулите са сложни.

От гореизложеното става ясно, че за в бъдеще остават интересни само задачи, които не могат да се решават верно с помощта на съвременните информационни технологии. В много от случаите това са задачи, които даже не изискват големи премятания, но предполагат задълбочено разбиране на математическите идеи. Такива са задачи за доказателство и то на формули с параметър, изменящ се в интервал с безкрайни граници или на търсене на сингулярни примери като посочените по – долу и т. н.


2.1. Задачи, които не се решават с помощта на компютри


Задача 1. Посочете пример за функция, която има производна от n ред, но няма производна от n + 1 ред (в началото на координатната система).

Решение. Както знаем, функцията e непрекъсната, но няма производна при х = 0 (фиг. 2). Тогава функцията, дефинирана със следната формула:

(1)

ще има първа производна (т. е. ще бъде диференцируема), но няма да има втора производна в х = 0 (фиг. 3). Аналогично функцията:

(2)

ще има първа и втора производна (т. е. ще бъде два пъти диференцируема) във всяко х, но няма да има трета производна в х = 0 (фиг. 4). В тази посока можем да продължим за всяко .



Фиг.2. Графика на Фиг. 3. Графика на f(x),

зададена с (1), и на - f(x)



Фиг. 4. Графика на f(x), зададена с (3), Фиг. 5. Графика на f(x) от задача 2

и на - f(x)


Задача 2. Докажете, че функцията, зададена с формулата:



има само първа производна (в началото).

Доказателство. При х, различно от 0, производната на тази функция се изчислява по обичайния начин:



При х = 0 тази функция е диференцируема, т. е. има първа производна в тази точка, но тази производна е прекъсната при х = 0 (фиг. 5). Доказателство: при х = 0 използуваме определението за първа производна в точка:



Ясно е, че f’(x) няма граница при , т. е. f’(x) е прекъсната в х = 0, при това прекъсването е от втори род. Следователно това е пример за функция, която има само първа производна в точката х = 0, но няма втора (и следващи прозводни) в същата точка.


Задача 3. Намерете частните производни спрямо y в точката (1, y) на функцията:



Задача 4. Докажете, че, , където: .


2.2. Кратки бележки върху съдържанието на задачи, давани на конкурсни математически състезания


От гореизложеното тава ясно, че мнението на автора предполага не само качествена промяна в съдържанието на учебниците и сборниците по математика, но и в съдържанието на задачите, предлагани на различни математически състезания: олимпиади, математически прегледи и др. В този смисъл авторът е направил преглед на някои задачи, задавани на минали студентски математически олимпиади и състезания в България, които днес със съвременните информационни средства се решават веднага. За друг клас задачи системите за компютърна алгебра дават неверни решения. Трета група от задачи (най – многобройната) въобще не могат да се решат с тези системи. Една от причините за последното е и тази, че системите за компютърна алгебра все още не са достатъчно подробно развити и не обхващат значителна част от математическия инструментариум.


Няколко примера за задачи, давани на математически състезания в България, които допускат решения с помощта на съвременните информационни технологии


Задача 1. (НСОМ’99, Група Б) Решете интеграла [5] :




Отговор:



Системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 както и т. н. от математически сайт с адрес http://integrals.wolfram.com/. не решават този интеграл.

Решение с помощта на математическия сайт http://wims.unice.fr/wims/ :





Задача 2. (НСОМ’99, Група В) Докажете, че [5]:




Системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 решава този интеграл и дава същия резултат: .

(Числово) Решение с помощта на математическия сайт http://wims.unice.fr/wims/ :




Задача 3. (НСОМ’2004, Група Б) [6] : Пресметнете интеграла: .

Отговор: .


Системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 решава вярно този интеграл и дава резултат: .


Решение с помощта на математическия сайт http://wims.unice.fr/wims/ :


Интегралът не се решава, отговорът е съобщението: The computation of the integral of f (x) from -pi to pi has failed. Please verify that f  is well-defined in the interval.

Задача 4. (НСОМ’2004, Група В) [6]: В интервала [0, 1] са зададени функциите: .

(а) Да се докаже, че в интервала (0, 1] съществува единствена точка х0 такава, че: .

Графични решения


Тъй като интервалът [0, 1] е с крайна дължина, чертаем графиките на двете функции в една и съща координатна система (фиг. 1) или на тяхната разлика (фиг. 2) и наистина се убеждаваме в съществуването на точката х0 с посоченото свойство. Независимо от това, за повече прецизност, трябва да докажем твърдението, като разгледаме с помощта на производни поведението на разликата f(x) – g(x) в (0, 1].



Фиг. 2. Графично решение с Фиг. 1. Графично решение с помощта на помощта на математическия сайт

системата за компютърна алгебра http://wims.unice.fr/wims/:

MATHEMATICA 4.0: графика на f(x) и графика на разликата f(x) – g(x) в [0,1].

g (x) в [0,1].


3. Изводи и предложения


Авторът предлага следната промяна в обучението по математика във ВТУЗ. Част от часовете, предвидени за семинарни упражнения да се трансформират в часове за упражнения, провеждани в компютърна зала с достъп до INTERNET. По време на тези часове да се решават, както вече споменахме, регулярни задачи, тъй като тяхното решение е възможно с използуване на вече обясненото WEB – базирано обучение чрез подходящи сайтове. Разбира се, по време на тези упражнения в компютърна зала може да се работи и с т. н. системи за компютърна алгебра (MATHEMATICA, MAPLE, MATLAB и др.), както това се прави, например в ТУ – Варна и в ТУ – София. Използуването на системите за компютърна алгебра обаче изисква познаване на техния език, както и зареждане на компютрите с тези програми. Работата в INTERNET с математическите сайтове изисква само връзка с INTERNET, което е възможно и вън от учебните заведения. Сайтовете са оформени достатъчно ясно и пригледно. Разбира се, съществува езикова бариера (тя съществува и при работа със системите за компютърна алгебра) , но в някои ВТУЗ (например – ВВМУ “Н. Й. Вапцаров” – Варна) кандидат - студентските изпити включват тестове по английски език. Друго предимство на работа с математически сайтове в INTERNET е техният голям брой и разнообразие. По този начин може да се направи и евентуално наложителна проверка на резултатите. По време на обикновените семинарни упражнения предлагаме да се обръща внимание на задачи с особености, подобни на по – горе посочените примери. Техните решения обикновено не са свързани с големи пресмятания, но изискват задълбочено разбиране на теорията. По време на лекциите, естествено, преподавателят задължително трябва да отделя време за илюстриране на теорията с решаване на регулярни примери [1 – 4]. Тази евентуална промяна по наше мнение изисква написване и на нови учебни помагала, но това ще се оправдае с осъвременяване и повишаване на качеството на учебния процес по математика.


следующая страница >>