uzluga.ru
добавить свой файл
1
Утверждено, введено в действие Рассмотрено на заседании МО

Приказом №101 от 20.06.08. Протокол №5 от 31.05.08

Директор МОУ «Гимназия №3» Руководитель МО

Н.П. Аниськина В.А. Сидорова


Элективный курс

«Мир, математика, математики»


Программа составлена на основании учебного издания: Серия «Элективные курсы в профильном обучении». Образовательная область «Математика». Каспржак А.Г. Элективные курсы в профильном обучении: образовательная область «Математика» /Министерство образования РФ


Подготовила: учитель

математики

Горшкова Г.М.


Чистополь

2008


Пояснительная записка


Математика со времени её зарождения как науки (VI в. до н.э.) и много раньше была тесно связана не только с цивилизацией, с практикой, но со всей общечеловеческой культурой – со всем миром. И математические теории, и методы открывались, создавались конкретными личностями, математиками, жизнь и судьба которых, интересная и насыщенная, поучительная и порой трагическая, неотделима от исторической эпохи, в которую они творили.

Основная задача курса – помочь старшеклассникам представить школьную и близкую к ней математику в контексте культуры и истории.

В данном курсе старшеклассник узнает о конкретно – исторических обстоятельствах «сотворения» современной школьной математики – алгебры, математического анализа и геометрии.

Учащиеся узнают об истории развития математических идей, о самих идеях; ознакомятся с широким материалом, относящийся к рассматриваемым вопросам; изучать не только «теории», но и решать задачи.

Важнейшая задача элективного курса - повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как алгебраические уравнения и обращение с многочленами; числа – от делимости натуральных чисел до пользы от чисел комплексных; применения метода координат и решение задач на повторение; интересные и неожиданные примеры и приложения математического анализа.

Многие математические вопросы относятся к темам, популярным на вступительных экзаменах в Вузы естественно – научного профиля. А будущий гуманитарий получит много сведений из истории культуры, науки и философии.

В первой части курса учащиеся 10 – 11 классов узнают историю тех разделов элементарной математики, которые наиболее близки к школьной алгебре:

от преобразования различных алгебраических выражений и отыскании решений разнообразных алгебраических уравнений до важного периода почти революционного развития математики до зарождения математического анализа.

Вторая часть труднее первой.

Четкое математическое содержание, гуманитарный, культурно – исторический контекст сменяется объединением математического и гуманитарного содержаний.

Формы проведения занятий и специфика курса не предполагают проведение контрольных и зачетных работ. Открытые вопросы, задачи или задания сформулированы на вовлечение учащихся к поисковой активности.

Внутрикурсовые связи довольно сильны. Формы подачи гуманитарного содержания курса разнообразны.

От простых комментариев исторического, биографического свойства до развернутых жизненно – творческих биографий участников математической эпохи на ученических мини конференциях с сообщениями и докладами, с обсуждением и свободной дискуссией. Многие биографические сведения могут иметь эмоционально – психологическое воздействие на школьников и способны вдохновить их «на великие дела».

«Что примера лучше действует?» - (А.С.Пушкин. «Бова - королевич»).

Так как электив используется в классах гуманитарного профиля – то гуманитарное содержание является основным, а математическое содержание – «фоном».

Данный курс интересен и последователен цельным и связным повествованием, так как стержневой линией является последовательность связанных, зацепленных одно с другим математических содержаний, т. е. без разделения на алгебру, геометрию и анализ.

При изучении данного элективного курса специальные домашние задания «на закрепление материала», не нужны.

Задания состоят в подробном прочтении соответствующих текстов литературы, в составлении собственного краткого контекста пройденного, в котором выделяется «базисное» математическое содержание – например, преобразование выражений. Можно предложить учащимся составить хронологическую «карту» или «ось времени», на которой отмечать годы жизни ученых и важнейшие даты математических фактов – от открытий до введения тех или иных понятий или обозначений с тем, чтобы преуспевающим ученикам «дать пищу уму» или, чтобы можно было всем ученикам воспользоваться некоторым наборам задач и упражнений экзаменационной, конкурсной направленности.

Программа рассчитана на 68 часов в год в 10 – 11 классах гуманитарного профиля.

По окончанию изучения курса учащиеся получают лист «За успехи», которые будут вкладываться в портфель личных достижений.

Программа составлена на основании учебного издания: Серия «Элективные курсы в профильном обучении». Образовательная область «Математика».


Цели курса:

  1. Школьный курс математики в глазах учеников сделать «открытым»;

  2. Раскрывать понятия и теории в рамках культурно – исторического дискурса;

  3. Показать уникальную ценность или полезность, вовлекаемого в культурно – исторический дискурс, в гуманитарный фон.

  4. Помочь увидеть в математике творческое и поэтическое занятие.


Задачи курса:

  • Способствовать лучшему, более прочному и сознательному усвоению основного и профильного курса математики;

  • Упрочение знаний, умений и навыков, необходимых для успешности учения в профильных классах;

  • Для достижения лучших результатов экзаменов или даже ЕГЭ;

  • Качественное улучшение не только уровня математической культуры, но и качества подготовки к продолжению образования;

  • Осознанный выбор профессии, качественная подготовка к конкурсным экзаменам, к учебе на младших курсах Вузов.



Содержание курса

В первой части курса рассматривать историю раздела элементарной математики, которые наиболее близки к школьной алгебре.

В школе досконально разбираются линейные и квадратные уравнения. Математики занимались ими с назапаметных времен – в Вавилоне, в Египте, в Древней Греции ещё до н.э., на Востоке – в Средние века, в Европе – начиная со II тысячелетия вплоть до эпохи Возрождения.

Древнии греки, а вслед за ними, например, Омар Хайям пытались решить и кубические уравнения. Все они немного преуспели только в XVI в. математикам удалось научиться решать кубические уравнения, а вслед за ними и уравнения степени 4. Со времени Кардано, одного из самых выдающихся ученых эпохи Возрождения, начала развиваться общая теория алгебраических уравнений. Одновременно с этим шли упорные поиски общих формул для решения уравнений степени 5 и выше. Они потерпели фиаско, но это не было поражением математики (алгебры) и математиков. Напротив достижения Руффини, Абеля и Галуа, доказавших неразрешимость уравнений степени 5 и выше в радикалах, послужили стимулом для развития совсем новых алгебраических и аналитических теорий.

Кроме истории алгебраических уравнений, доведенной до изобретений и открытий Виетта, в этой части рассматривать краткий, но важный период почти революционного развития математики: вторая четверть XVII века, бывшая как бы временем сумерек перед рассветом – изобретением совсем новой области математики, математического анализа. Характерные личности этого времени – Галилей, Ферма и Декарт. Так что история школьной алгебры прослеживается в этой части вплоть до зарождения анализа.

Для первой части элективного курса выбираем линию изучения алгебраических уравнений, начиная с квадратных уравнений, с Пифагора и других древних греков, и продолжается она через алгебру Древнего Востока. Очень важно знать, что же было с математикой в 1 тысячелетии н.э., познакомится с примечательными ее деятелями от аль-Харезми до Омара Хайяма, от Абу-Камиля до Альгазена. И дальше через Хибоначчи до Луки Пачоли, который утверждает, что кубические уравнения решить нельзя… А дальше фейерверк 1-й половины XVI века, кубические уравнения поддались математикам, а с ними и уравнения 4-й степени!

Следующие темы нацелены на «вершину» школьной алгебры – на теорему Виетта. Она в каком-то смысле столь же проста для уравнений произвольной степени, сколь и для уравнений квадратных. Речь идет о теореме Безу. Основное следствие – возможность разложения: p(x) = (x – a)g(x), где p(а) = 0.

Разложения тянут за собой метод разложения решения рациональных алгебраических уравнений – отысканием рациональных корней и методом неопределенных коэффициентов.

В начале главы затрагиваются два других «кита»-метода, на которых стоит основная методика решения рациональных алгебраических уравнений: метод замены (на примере линейной замены x= z+a) и метод сведения уравнения к системе.

Далее идет теорема Виетта, которую удобно формулировать сразу в общем случае полностью разложимых многочленов – как pn(x)=xn+…=(x-x1)…(x-xn).

Из этой теоремы получим формулу бинома Ньютона и треугольник Паскаля, как легкое приложение – «приключение с алгоритмом Руффини-Горнера деление многочлена на двучлен.

В главе 2 курса имеет большое значение тема геометрических построений, т.к. повторяется, а значит, закрепляется, уже пройденное в курсе геометрии основной школы, и повторение направлено на подготовку к вступительным экзаменам, на которых эта тема весьма популярна.

В последующих темах всплывает, наконец, первое понятие, относящееся по своей сути не к алгебре или геометрии, а к математическому анализу, - понятию наибольшего (наименьшего) значения. Здесь затрагивается принципиально важный «принцип Ферма» в оптике и его работы в области теории чисел.

Взаимодействие математиков Европы, а особенно Франции было бы трудно достижимо, если бы не скромный монах-францисканец Марен Мерсенн, организовавший в своей келье в центре Парижа чуть ли не академию наук. Его кружок и стал основой будущей Парижской Академии. Об этом и говорится в последних пунктах данного курса.

Требования к уровню усвоения учебного материала


В результате изучения курса учащиеся получают возможность

знать и понимать:

  • Новые математические понятия;

  • Способы и методы решения алгебраических уравнений начиная с квадратных уравнений, до уравнений 4 ой степени;

  • Разложение многочлена на множители;

  • Решение рациональных уравнений: методом замены и методом сведения уравнения к системе;

  • Жизненно - творческие биографии участников эпопеи.


Уметь:

  • С легкостью и изяществом применять все математические выкладки в других дисциплинах;

  • Использовать накопленные практические навыки при решении задач.



Программа курса

Глава 1. Введение в историю алгебраических уравнений – 2 ч.

Тема 1. Уравнения квадратные и кубические – 8 ч.

  1. Истоки алгебры. Геометрия древних греков.

  2. Квадратные уравнения: решение заменой.

  3. Долгий путь от геометрии к алгебре.

  4. Кубические уравнения: упрощения.

  5. Формула для корней кубических уравнений.

  6. Как пользоваться формулой Кардано?

Тема 2. Великое искусство и жизнь Джероламо Кардано 6 ч.

  1. По пути к формуле Кардано.

  2. Вокруг формулы Кардано.

  3. Тарталья и Феррари. Кардано – человек эпохи.

Тема 3. Уравнения 4 степени – 9 ч.

  1. Упрощение уравнений степени 4.

  2. О разложении многочленов степени 4.

  3. Метод Феррари решения уравнения степени 4.

  4. Метод Декарта решения уравнения степени 4.

  5. «Великое искусство» - шаг Кардано в алгебру.

Тема 4. Уравнения и многочлены – 10 ч.

  1. Алгебраические уравнения и многочлены.

  2. Делимость и разложение многочленов.

  3. О разложении кубических многочленов.

  4. Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу.

  5. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини-Горнера.

Тема 5. Следствия из теоремы Безу – 10 ч.

  1. Пелимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена.

  2. Формулы сокращенного умножения.

  3. Метод разложения. Отыскание рациональных корней.

  4. Разложение методом неопределенных коэффициентов.

  5. Применение теоремы о корнях к числовым задачам.

  6. Задание многочленов значениями. Многочлены Лагранжа.

  7. Жизнь и судьба Лагранжа.

Тема 6. Аналитическое искусство и жизнь Франсуа Виета – 9 ч.

  1. Алгебраические новации Виета и его последовали.

  2. Кубические уравнения у Виета.

  3. Неприводимый случай кубического уравнения у Виета.

  4. Графическое исследование кубического уравнения.

  5. Судьба и корКаспржак А.Г. Элективные курсы в профильном обучении: образовательная область «Математика» /Министерство образования РФолевская карьера Виета.

  6. Решение систем Виета. Пример.

  7. Общие система и теорема Виета.

  8. Формула Ньютона для степени бинома.

  9. Метод Руффини-Горнера и треугольник Паскаля.

Глава 2. Предыстория математического анализа – 13 ч.

Тема 1. Галилей и Декарт – 4 ч.

  1. Научная революция Нового времени.

  2. Жизнь Галилея.

  3. Геометрическая алгебра Декарта.

  4. Алгебраический метод геометрических построений.

Тема 2. Координаты. Жизнь и вера Декарта – 3 ч.

  1. Метод координат Ферма-Декарта.

  2. Конические сечения в школе.

  3. Жизнь и вера Декарта.

Тема 3. Задачи на максимум и минимум. Ферма и теория чисел – 6 ч.

  1. Экстремальные задачи до Ферма.

  2. Жизнь и математика Пьера Ферма.

  3. Метод Ферма и теорема Ферма.

  4. Ферма и теория чисел.

  5. «Академия Марена Марсенна и его чисел»






Литература


Для учащихся.

  1. Белл Э.Т. Творцы математики: пособие для учителей, пер. с англ. – М.: Просвещение, 1979.

  2. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики: биографический словарь-справочник. – Киев: Рад школа, 1987.

  3. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. – М.: наука, 1985.

  4. Глейзер Г.И. история математики в школе: пособие для учителей. – М.: Просвещение (4-6 классы – 1981, 7-8 классы – 1982, 9-10 классы – 1983).

  5. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов: пер. с лат. – М.: Мысль, 1986.

  6. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. – Л.: Наука, 1990.

  7. Кольман Э. История математики в древности. – М.: Физматгиз, 1961.

  8. Матвиевская Г.П. Рене Декарт: книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1987.

  9. Матвиевская Г.П. Альбрехт Дюрер – ученый. – М.: Наука, 1987.

  10. Матвиевская Г.П. Рамус. М.: Наука, 1981.


Для учителя.

  1. Каспржак А.Г. Элективные курсы в профильном обучении: образовательная область «Математика» /Министерство образования РФ – национальный фонд подготовки кадров. – М.: Вита – Пресс, 2004. – 96 с. – ISBN 5 – 7755.

  2. Адлер А. Теория геометрических построений: пер. с нем. – Одесса: Матезис, 1924.

  3. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математики Древнего Египта, Вавилона и Греции: пер. с нем. – М.: Физматгиз, 1959.

  4. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия: пер. с нем. – М.: Наука, 1966.

  5. Вопросы преподавания математики на XIX международной конференции в Женеве. – В сб. Математическое просвещение, вып. 1. – М.: Фихматгиз, 1957.

  6. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: очерки по истории математики: пер. с фр. – М.: Мир, 1986.

  7. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?: элементарный очерк идей и методов: пер. с англ. – М.: Просвещение, 1967.



Учебно-календарный план курса для 10 класса







Название темы

Кол-во часов

Форма проведения

Дата проведения

I.

Введение в историю алгебраических уравнений

2

Школьные лекции с элементами дискуссии

04.09.

11.09.

II.

Уравнения квадратные и кубические.

8

Лекция, практикум




1.

Истоки алгебры. Геометрия древних греков.

1




18.09.

2.

Квадратные уравнения: решение заменой.

1




25.09.

3.

Долгий путь от геометрии к алгебре.

1




02.10.

4.

Кубические уравнения: упрощения.

1




09.10.

5.

Формула для корней кубических уравнений.

1




16.10.

6.

Как пользоваться формулой Кардано?

2




23.10. 30.10.

7.

Итоговый урок.

1




06.11.

III.

Великое искусство и жизнь Джероламо Кардано.

6

Семинар-практикум




1.

По пути к формуле Кардано.

1




13.11.

2.

Вокруг формулы Кардано.

2




20.11. 27.11

3.

Тарталья и Феррари. Кардано – человек эпохи.

2




04.12.

11.12.

4.

Итоговый урок.

1




18.12.

IV.

Уравнения 4 степени.

9

Семинар-практикум




1.

Упрощение уравнений степени 4.

1




25.12.

2.

О разложении многочленов степени 4.

1




15.01.

3.

Метод Феррари решения уравнения степени 4.

2




23.01.

29.01.

4.

Метод Декарта решения уравнения степени 4.

2




05.02.

12.02.

5.

«Великое искусство» - шаг Кардано в алгебру.

2




19.02.

26.02.

6.

Итоговый урок.

1




05.03.

V.

Уравнения и многочлены.

10

Школьные лекции, практикум




1.

Алгебраические уравнения и многочлены.

2




12.03.

19.03.

2.

Делимость и разложение многочленов.

2




02.04.

09.04.

3.

О разложении кубических многочленов.

1




16.04.

4.

Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу.

2




23.04.

30.04.

5.

Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини-Горнера.

1




07.05.

6.

Математический вечер «Своя игра»

1




14.05.




Итого

34









Учебно-календарный план курса для 11 класса

I.

Следствия из теоремы Безу.

10

Семинар-практикум




1.

Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена.

1




04.09.

2.

Формулы сокращенного умножения.

1




11.09.

3.

Метод разложения. Отыскание рациональных корней.

2




18.09.

25.09.

4.

Разложение методом неопределенных коэффициентов.

1




02.10.

5.

Применение теоремы о корнях к числовым задачам.

2




09.10.

16.10.

6.

Задание многочленов значениями. Многочлены Лагранжа.

2




23.10.

30.10.

7.

Жизнь и судьба Лагранжа.

1




06.11.

8.

Итоговый урок.

1




13.11.

II.

Аналитическое искусство и жизнь Франсуа Виета.

9

Школьные лекции с элементами дискуссии, практикум




1.

Алгебраические новации Виета и его последовали.

1




20.11.

2.

Кубические уравнения у Виета.

1




27.11.

3.

Неприводимый случай кубического уравнения у Виета.

1




04.12.

4.

Графическое исследование кубического уравнения.

1




11.12.

5.

Судьба и королевская карьера Виета.

1




18.12.

6.

Решение систем Виета. Пример.

1




25.12.

7.

Общие система и теорема Виета.

1




15.01.

8.

Формула Ньютона для степени бинома.

1




23.01.

9.

Метод Руффини-Горнера и треугольник Паскаля.

1




29.01.




Предыстория математического анализа

13







III.

Галилей и Декарт.

4

Школьные лекции, практикум




1.

Научная революция Нового времени.

1




05.02.

2.

Жизнь Галилея.

1




12.02.

3.

Геометрическая алгебра Декарта.

1




19.02.

4.

Алгебраический метод геометрических построений.

1




26.02.

IV.

Координаты. Жизнь и вера Декарта.

3

Лекция-практикум




1.

Метод координат Ферма-Декарта.

1




05.03.

2.

Конические сечения в школе.

1




12.03.

3.

Жизнь и вера Декарта

1




19.03.

VX.

Задачи на максимум и минимум. Ферма и теория чисел.

6

Практикум




1.

Экстремальные задачи до Ферма.

1




02.04.

2.

Жизнь и математика Пьера Ферма

1




09.04.

3.

Метод Ферма и теорема Ферма.

2




16.04.

23.04.

4.

Ферма и теория чисел.

1




30.04.

5.

«Академия Марена Марсенна и его чисел».

1




07.05.

VI.

Математический вечер «Своя игра».

1

Защита проектов

14.05.



Итого


34









Содержание




Пояснительная записка……………………………………………….2

Цели и задачи элективного курса……………………………………4

Требования к уровню усвоения учебного материала………………5

Программа курса……………………………………………………...6

Учебно – тематический план для 10 класса………………………...9

Учебно – тематический план для 11 класса………………………...10

Литература…………………………………………………………….11