uzluga.ru
добавить свой файл
1
ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

(на базе среднего (полного) общего образования)

Общие указания

Содержание программы сгруппировано вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Геометрические фигуру. Измерение геометрических величин».

На экзамене по математике поступающие должны:

  1. знать определения математических понятий, формулировки основных теорем» основные формулы;

  2. уметь доказывать теоремы и выводить формулы, проводить дока­зательные рассуждения в ходе решения задач в устном и письменном изложении;

  3. владеть основными умениями и навыками, предусмотренными программой, уметь решать типовые задачи.

Программа по математике содержит три раздела.

Первый раздел состоит из перечня основных математических понятий, которые поступающие должны знать и уметь применять, т. е. ссылаться на них при доказательстве теорем и выводе формул, использо­вать их при решении задач.

Во втором разделе указаны теоремы и формулы, которые надо уметь формулировать и доказывать; понятия и их свойства, которые надо уметь раскрывать и обосновывать. Из тематики этого раздела формируется содержание теоретической части экзаменационных материалов.

В третьем разделе перечислены основные умения и навыки, которыми должны владеть поступающие.

I. Основные математические понятия

Числа и вычисления

  1. Натуральные числа. Простые и составные числа. Делитель, кратное. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

  2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.

  3. Целые числа. Рациональные числа, их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.

  1. Действительные числа, их представление в виде десятичных дробей. Свойства арифметических действий с действительными числами.

  2. Числовая прямая. Модуль числа, его геометрический смысл.

  3. Комплексное числа. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

  4. Векторы. Общие понятия. Линейные операции.


Выражения и их преобразования

  1. Числовые выражения. Тождественные преобразования. Выраже­ния с переменными. Формулы сокращенного умножения.

  2. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифмети­ческий корень.

  3. Одночлен и многочлен. Степень многочлена. Разложение много­члена на множители.

  4. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

  5. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус и косинус суммы и*разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Тождественные преобразования тригонометрических выра­жений.

  6. Арифметическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии.

  7. Геометрическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии.

  8. Логарифмы, их свойства. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода от одного основания к другому.

  9. Основные тригонометрические тождества: sin2 x + cos2 х=1;

tg x = sin x/cos x

Формулы приведения (без доказательств). Синус и косинус суммы и разности двух углов, синус и косинус двойного угла. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.


Алгебраические уравнения и неравенства

  1. Уравнение. Корни уравнения. Равносильность уравнений. Основные методы решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, использование свойств функций. Неравенства. Решения неравенств.

  2. Линейные уравнения с одним неизвестным.

  3. Квадратные уравнения. Формулы корней.

  4. Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и его геометрическая интерпретация. Эквивалентные преобразования системы.

  5. Линейное неравенство с одним неизвестным. Система линейных неравенств сродним неизвестным.

  6. Неравенства второй степени с одним неизвестным.

  7. Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения.

  8. Уравнения и неравенства с модулем. Уравнения и неравенства с параметрами.


Тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения и неравенства

  1. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

  2. Простейшие показательные уравнения и неравенства.

  3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства.


Функции

  1. Функция. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции. График функции. Возрастание и убывание функций. Сохранение знака. Четные и нечетные функции. Периодические функций.

  2. Линейная квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции. Их свойства и графики. Понятие об обратной функции •

  3. Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс. Их свойства и графики.

  4. Производная. Ее геометрический и физический смысл. Таблица производных. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производная функции вида у = f(ax + b).

  5. Исследование свойств функций с помощью производной: нахождение экстремумов функции наибольших и наименьших значений, промежутков монотонность Построение графиков функции. Первообразная функция. Задача о площади криволинейной трапеции.


Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин

  1. Вертикальные и смежные углы и их свойства.

  2. Параллельные прямые, перпендикулярные прямые на плоскости.

  3. Треугольник. Медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора.

  4. Признаки равенства треугольников.

  5. Сумма углов треугольника.

  6. Признаки подобия треугольников.

  7. Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Многоугольники.

  8. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, дуга, сектор, сегмент. Касательная к окружности.

  9. Формулы площади треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

  1. Градусная и радианная мера угла. Связь между ними.

  2. Длина окружности, длина дуги и окружности.

  3. Площадь круга, площадь , площадь спектра.

  4. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.

  5. Параллельные прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Угол между ними.

  6. Параллельные пересекающиеся прямые.

  7. Прямая, параллельная г ости. Признак параллельности пря­мой и плоскости.

  1. Параллельные плоскости. Признак параллельности плоскостей.

  2. Теорема о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.

  3. Перпендикуляр к плоскости. Наклонная. Проекция наклонной.

  4. Признак перпендикулярности прямой к плоскости.

  5. Теорема о трех перпендикулярах.

  1. Перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей.

  1. Угол между прямой и плоскостью.

  2. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.

  1. Призма, ее элементы. Формулы площади боковой поверхности и объема призмы. Параллелепипед. Куб. Многогранники.

  2. Пирамида, ее элементы. Формулы площади поверхности и объема пирамиды.

  3. Тела вращения. Цилиндр. Формулы площади поверхности и объема цилиндра.

  1. Конус, формулы площади поверхности и объема конуса.

  2. Шар. Формулы площади поверхности и объема шара.

  1. Изображение пространственных фигур. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных фигур.


II. Раскрытие основных математических понятий и их свойств,

формулировка и доказательство теорем, вывод формул


Алгебра и начала анализа

  1. Функция у = kx, ее свойства и график.

  2. Функция у = k/x, ее свойства и график.

  3. Функция у = kx +b, ее свойства и график.

  4. Функция у = ах2 + bх + c, ее свойства и график.

  1. Квадратное уравнение и его решение. Формулы корней квадратного уравнения. Формулы Виета

  1. Квадратный трехчлен и его разложение на множители.

  2. Числовые неравенства и их свойства.

  1. Линейное неравенство и ею решение. Системы линейных нера­венств, их решение (на конкретных примерах).

  1. Логарифмы и. их свойства. Переход к другому основанию.

  1. Функции синус и косинус, их свойства и графики.

  2. Функции тангенс и котангенс, их свойства и графики.

  3. Решение уравнений вида sin х = a, cos х = a, tg х = a, ctg x = а.

  4. Формулы приведения.

  5. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

15. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов.

  1. Синус и косинус двойного аргумента.

  2. Производная и ее геометрический смысл.

  3. Производная функции.

  4. Производная суммы


Геометрия

  1. Свойства равнобедренного треугольника.

  2. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

  3. Признаки параллельности прямых, на плоскости.

  4. Теорема о сумме углов треугольника.

  5. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.

  6. Окружность, описанная около треугольника.

  7. Окружность, вписанная в треугольник.

  8. Касательная к окружности, ее свойства.

  9. Теорема о вписанном угле в окружность.

  10. Признаки подобия треугольников.

  11. Теорема Пифагора.

  12. Формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

  13. Признак параллельности прямой и плоскости.

  14. Признак параллельности плоскостей.

  15. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

  16. Теорема о трех перпендикулярах.

  17. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

  18. Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды.

  19. Формулы для вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.


III. Основные умения и навыки

Поступающие должны уметь:

  1. Уверенно выполнять арифметические действия над числами (целыми, дробными, заданными в виде десятичных и обыкновенных дробей); с требуемой точностью округлять Данные числа и результаты вычислений; производить приближенную прикидку результата; пользоваться калькулятором.

  2. Решать основные задачи на дроби и проценты, составлять и решать пропорции.

  3. Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений, используя приемы разложения многочленов на множители, формулы сокращенного умножения, формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, показательной и тригонометрических функций.

  4. Владеть общими приемами решения уравнений (разложение на множители, подстановка и замена переменной применение функций к обеим частям, тождественные преобразования обеих частей), общими приемами решения систем уравнений.

  5. Решать алгебраические уравнения и неравенства первой и второй степени и уравнения, сводящиеся к ним; решать несложные системы алгебраических уравнений первой и второй степени.

  6. Решать несложные показательные, логарифмические, тригономет­рические уравнения, простейшие неравенства.

  7. Уметь пользоваться методом интервалов для решения несложных рациональных неравенств.

  8. Свободно «читать» графики, отражать свойства функций на графике (монотонность, сохранение знака, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение, ограниченность, периодичность).

  9. Определять значение функции по значению аргумента при любом способе задания функции, применяя при необходимости вычислительную технику.

  10. Владеть свойствами тригонометрических, показательных, логарифмических и степенных функций, изображать их графики; описывать свойства этих функций, опираясь на графики, уметь использовать свойства функций для сравнения и оценки их значений.

  11. Находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования суммы и произведения.

  12. Применять производную для исследования функций в несложных ситуациях на монотонность, экстремумы, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций, в том числе для построения графиков функций.

  13. Находить в простейших случаях первообразные функции, при­менять первообразную для нахождения площадей криволинейных трапеций.

  14. Изображать геометрические фигуры на чертеже, иллюстрировать чертежом условие несложной стереометрической задачи.

  15. Решать несложные задачи на вычисление геометрических величин (длин отрезков, углов, площадей, объемов) с использованием свойств геометрических фигур и формул.

  16. Уметь решать основные задачи на построение с помощью линейки и циркуля.