uzluga.ru
добавить свой файл
1
ПЕНЗЕНСКИЙ ТЕХНИКУМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ



САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ


Настоящая Программа составлена

в соответствии с Примерной

программой основного общего

образования по математике


ПРОГРАММА

вступительного экзамена (испытания)

по математике


(для поступающих по программам СПО

на базе 9 класса)




Рассмотрена и принята

на заседании приемной (отборочной) комиссии техникума от 13 мая 2010

Протокол № 6



Общие положения


На экзамене по математике поступающие в техникум должны:

1) знать определения математических понятий, формулировки основных теорем, основные формулы;

2) уметь доказывать теоремы и выводить формулы, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач в устном и письменном изложении;

3) владеть основными умениями и навыками, предусмотренными программой, уметь решать типовые задачи.

Настоящая программа по математике для поступающих в средние профессиональные учебные заведения состоит из пяти разделов.

В первом разделе перечислены основные математические понятия, которые должен знать поступающий и уметь применять

Второй раздел содержит теоремы и формулы, которые надо уметь формулировать и доказывать. Из вопросов этого раздела формируется содержание теоретической части экзаменационных билетов.

В третьем разделе перечислены основные умения и навыки, которыми должны владеть поступающие.


I. Основные математические понятия и факты




Числа и вычисления

  1. Натуральные числа. Делители и кратные натурального числа. Чет­ные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10 и 9. Простые составные числа. Понятие о разложении натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

  2. Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа. Модуль числа, его геометрический смысл. Сравнение положительных и отрицательных чисел.

  3. Обыкновенная дробь. Сравнение обыкновенных дробей. Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная часть числа. Основное свой­ство дроби. Среднее арифметическое нескольких чисел.

  4. Десятичная дробь. Приближенное значение числа. Округление чи­сел. Проценты. Основные задачи на проценты.

  5. Понятие о числе как результате измерения. Рациональные числа. Представление рациональных чисел в виде периодических бесконечных десятичных дробей.

  1. Изображение чисел на прямой. Координата точки. Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки.

  2. Пропорция. Основное свойство пропорции. Понятие о прямой и обратной пропорциональности величин.

  3. Понятие об иррациональных числах. Действительные числа. Чис­ловые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение чис­ловых неравенств.

  4. Понятие об изменении величин, абсолютной и относительной погрешности приближенного значения. Запись чисел в стандартном виде.

10. Квадратный корень и кубический корень.


Выражения и их преобразования

  1. Числовые выражения. Применение букв для записи выражений.
    Числовое значение буквенного выражения. Вычисления по формулам.
    Простейшие преобразования выражений: раскрытие скобок, приведение
    подобных слагаемых.

  2. Многочлен. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умноже­ние многочленов. Разложение многочлена на множители. Формулы со­кращенного умножения.

  3. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на мно­жители.

  4. Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Сокращение алгебраических дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление ал­гебраических дробей.

  5. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Степень с це­лым показателем. Свойства квадратных корней. Преобразования выра­жений, содержащих квадратные корни.

  6. Корень n-й степени и его свойства. Степень с рациональным пока­зателем и ее свойства.

  7. Основные тригонометрические тождества sin2x + cos2x = 1; tgx =sinx/cosx.

  8. Формулы приведения (без доказательства). Синус и косинус сум­мы и разности двух углов, синус и косинус двойного угла. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

  9. Арифметическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы n пер­вых членов арифметической прогрессии.

10. Геометрическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы n пер­вых ее членов.

Уравнения и неравенства

  1. Уравнение. Корни уравнения. Линейные уравнения с одним неиз­вестным. Квадратное уравнение; формулы корней. Рациональное уравне­ние и его решение.

  2. Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и его геометрическая интерпретация. Решение про­стейших систем, содержащих уравнение второй степени.

  3. Линейное неравенство с одним неизвестным. Система линейных неравенств с одним неизвестным. Решение рациональных неравенств методом интервалов. Решение неравенств второй степени с одним неиз­вестным.


Функция

  1. Функция. Область определения функции, область значения. Спо­собы задания функции. График функции. Возрастание и убывание функ­ций, сохранение знака.

  2. Функции: ; (n — натуральное число);

, , , . Их свойства и графики.


Геометрические фигуры. Измерения геометрических величин

  1. Смежные и вертикальные углы и их свойства. Пересекающиеся и параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Перпендику­лярные прямые. Теоремы о параллельности и перпендикулярности пря­мых.

  2. Треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. Сумма уг­лов треугольника. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

3. Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства. Трапеция. Правильные мно­гоугольники.

4. Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства.

  1. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку; окружность, описанная около треугольника. Свойство биссектрисы угла треугольника; окружность, вписанная в треугольник.

  1. Понятие о равенстве фигур. Признаки равенства треугольников.

  2. Понятие о подобии фигур. Признаки подобия треугольников.

  3. Примеры преобразования фигур, виды симметрии.

  4. Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

  1. Длина отрезка. Расстояние отточки до прямой.

  2. Градусное измерение угла. Измерение вписанных углов.

  3. Длина окружности. Длина дуги. Число .

  4. Понятие о площади, основные свойства площади.

Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Отношение площадей подобных фигур. Площадь круга и его частей.

  1. Радианное измерение углов.

  1. Синус, косинус, тангенс угла.

  2. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.


II. Основные признаки, свойства, теоремы и формулы

Алгебра

1. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

2. Степень с натуральным показателем и ее свойства.

З. Степень с рациональным показателем и ее свойства.

4. Корень n-й степени и его свойства.

5. Арифметическая прогрессия и формула n-го ее члена.

6. Геометрическая прогрессия и формула n-го ее члена.

7. Функция у = kх, ее свойства и график.

8. Функция у = k, ее свойства и график.

9. Функция у = kх + b, ее свойства и график.

10. Функция , её свойства и график.

11. Функция ,ее свойства и график.

12. Квадратное уравнение и его решение. Формулы корней квадрат­ного уравнения.

13. Квадратный трехчлен, разложение его на множители.

14. Формулы сокращенного умножения:

; .

15. Линейное уравнение и его решение. Решение уравнений, сводя­щихся к линейным (на конкретных примерах).

16. Линейные неравенства и их решение. Решение систем линейных неравенств (на конкретных примерах).

17. Система двух линейных уравнений с двумя переменными и ее ре­шение.

18. Основное тригонометрическое тождество. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

19. Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного аргумента.


Геометрия

1. Свойства равнобедренного треугольника.

2. Свойства биссектрисы угла треугольника.

  1. Признаки параллельности прямых.

4. Теорема о сумме углов треугольника.

5. Признаки подобия треугольников.

6. Свойства параллелограмма и его диагоналей.

7. Свойства прямоугольника, ромба и квадрата.

8. Окружность, описанная около треугольника.

9. Окружность, вписанная в треугольник.

10. Теорема о вписанном угле в окружность.
11. Свойства касательной к окружности.
12. Теорема Пифагора.

13. Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°.

14. Формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции.


III. Основные умения и навыки


Поступающие должны:

1. Правильно употреблять термины, связанные с видами и способа­ми их записи (натуральное, целое, рациональное, иррациональное число, обыкновенная дробь, десятичная дробь); читать и записывать числа; пе­реходить от одной формы записи числа к другой (например, представлять десятичную дробь в виде обыкновенной; обыкновенную — в виде десяти­чной; проценты — в виде десятичной дроби)'.

2. Сравнивать два числа (натуральное, обыкновенные дроби; поло­жительные и отрицательные числа).

3. Изображать числа точками координатной прямой, понимать связь отношений «больше», «меньше» с расположением точек на прямой.

  1. Бегло и уверенно выполнять арифметические действия с рацио­нальными числами (натуральными, целыми, обыкновенными и десяти­чными дробями, положительными и отрицательными числами) в ходе вы­числений.

  1. Решать основные задачи на дроби и проценты.

  1. Находить значение выражений, содержащих степени с натураль­ными и целыми показателями, квадратные и кубические корни.

  2. При вычислениях сочетать устные и письменные приемы вычисле­ний, применение калькулятора, использовать приемы, рационализирую­щие вычисления.

  3. Составлять и решать пропорции, округлять целые числа и десяти­чные дроби.

  4. Правильно употреблять буквенную символику, понимать смысл терминов «выражение», «тождественное преобразование», формулиров­ку заданий: «упростить выражение», «разложить на множители».

  1. Владеть техникой тождественных преобразований рациональных (целых и дробных) выражений; выполнять основные действия над степе­нями, многочленами, алгебраическими дробями и применять их при преобразовании выражений.

11. Владеть приемами разложения многочленов на множители (вы­несение общего множителя за скобки, группировка по формулам сокра­щенного умножения) и применять их в комбинации.

12. Уметь пользоваться специальными приемами преобразования выражений (выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена, раз­ложение трехчлена на множители, применение формул сокращенного ум­ножения и др.).


IV. Критерии требований и оценки на вступительном испытании


1. Абитуриенту предлагается индивидуальный вариант устной экзаменационной работы по математике из 4 вопросов (2 теоретические и 2 практические задачи) для выполнения которых отводится не менее 45 минут.

2. По истечении времени на подготовку абитуриент по вызову экзаменатора должен явиться к нему для ответа.

3. Снижение оценки за решение практической части экзамена следует проводить в соответствии со следующими положениями:

3.1 Если задача решена правильно, со всеми пояснениями, с проверкой (при ее необходимости) или с верно найденной О.Д.З., то данная задача оценивается максимальным количеством баллов.

3.2 Если решение задачи верно и выполнены все требования п.3.1., но выбран нерациональный способ решения, существенно усложняющий решение задачи, оценка снижается.

3.3 Если решение верное, но:

- нет проверки или нет О.Д.З. (при их необходимости);

- потерян корень или лишний корень вынесен в ответ, оценка снижается.

3.4 При наличии в решении грубых ошибок типа:

- неумение приводить подобные члены и приводить дроби к общему знаменателю;

- вычислять корни квадратного трехчлена;

- раскрывать скобки по формулам сокращенного умножения;

- незнание теоремы Пифагора, основных тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике и других аналогичных вопросов оценка снижается.

3.5 Если ход решения задачи верный, но в числовых вычислениях имеются негрубые ошибки, приводящие к неверному ответу, то оценка снижается.

3.6 Если нет никаких записей ни на черновом, ни в чистовом листах по данной задаче, то решению задачи присваивается 0 баллов.

3.7 Если абитуриент неверно понял условие задачи, т.е. приводится решение совсем другой по своей сути задачи, то задача не засчитывается.

4. При подготовке к устному ответу абитуриент ведет все записи в листе устного ответа.

Ответы на вопросы должны быть краткими, содержать, как правило, план ответа по каждому из вопросов экзаменационного билета.

При доказательстве теорем по геометрии должен быть правильно и четко сделан чертеж и введены необходимые обозначения.

Должно быть правильно записано условие теоремы и, что необходимо доказать.

5. В процессе сдачи экзамена абитуриенту могут быть заданы дополнительные вопросы, как по содержанию экзаменационного билета, так и по любым разделам предмета экзамена в пределах программы вступительного испытания.

Время на подготовку к ответу по дополнительным вопросам не предоставляется.


IV. Образцы экзаменационных билетов по математике


Билет № 1.


1. Натуральные числа и нуль. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители.

2. Теорема синусов. Теорема косинусов (без доказательства).

3. Практическое задание.

Практическое задание к билету № 1

1. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 30º, катет, лежащий против этого угла, равен 8 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.

2. Решите уравнение .


Билет № 2.

1. Система двух линейных уравнений с двумя переменными и её решение.

2. Формулы площадей треугольника и квадрата.

3. Практическое задание.

Практическое задание к билету № 2

1. Вычислите боковую сторону равнобедренной трапеции, если высота трапеции равна 12 см, а основания 23 и 13 см.

2. Дана функция . Вычислите


Билет № 3.


1. Натуральные числа и нуль. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители.

2. Свойство серединного перпендикуляра.

3. Практическое задание.

Практическое задание к билету № 3

1. Длины сторон параллелограмма 8 и 12 см, а высота его, проведенная к меньшей стороне, 10 см. Найдите высоту, проведенную к большей стороне параллелограмма.

2. Вычислить: .


Билет № 4.


1. Длина окружности. Число π. Площадь круга.

2. Наибольший общий делитель (НОД). Наименьшее общее кратное (НОК).

3. Практическое задание.

Практическое задание к билету № 4

1. Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен 150º.

2. Выполните действие: .


Билет № 5.


1. Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанное число. Основное свойство дроби.

2. Свойства равнобедренного треугольника.

3. Практическое задание.


Практическое задание к билету № 5

1. Вписанный угол на 28º меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Определите величину этих углов.

2. Постройте график функции: .


Билет № 6.


1. Обыкновенные дроби и действия над ними.

2. Свойство биссектрисы угла.

3. Практическое задание.

Практическое задание к билету № 6

1. Железнодорожная насыпь имеет сверху ширину 6 м, а снизу 12 м. Боковые стороны наклонены к горизонту под углом 45º. Определите высоту насыпи.

2. Разложите на множители:

a) ; б) .