uzluga.ru
добавить свой файл
1















Практикумы

по теме:


Элементы комбинаторики, статистики,

теории вероятностей


Разработано учителем

математики школы №1

г. Радужный

Комовой И.П.


2003

Практикум по теме «Комбинаторика».


Ī вариант ĪĪ вариант

1. Вычислите


а) а)

б) б)

в) в)


  1. Решите задачу.


Сколькими способами из 7 членов Сколькими способами из 9 учебных президиума собрания можно выбрать предметов можно составить расписание

председателя , его заместителя и секретаря? учебного дня из 6 различных уроков?


  1. Решите задачу.


Сколькими способами из 10 игроков Сколькими способами из 25 учеников

волейбольной команды можно составить класса можно выбрать четырех для

стартовую шестерку? участия в праздничном концерте?


  1. Решите уравнение.





  1. Решите задачу.


Сколько диагоналей имеет выпуклый Сколько диагоналей имеет выпуклый

семиугольник ? восьмиугольник ? 6. Решите задачу.

Сколько различных пятизначных Сколько различных трехзначных чисел

чисел можно составить из цифр 6,7,8,9,0 можно составить из цифр 0,1,2,3,4, если

(цифры в одном числе не должны цифры в одном числе не повторяются?

повторяться)?

  1. Решите задачу.

Сколько различных перестановок Сколько различных перестановок

можно образовать из букв слова можно образовать из букв слова

«комбинаторика» ? «абракадабра»?


Решение задач по теме «Комбинаторика».


I вариант. II вариант.

№1

а); а)

б) б)

в) в)

№2



№3




№4






х1=-7 не подходит х2=-13 не подходит

Ответ: 8. Ответ: 8.


№5




№6


1 способ :1 цифра выбирается 4 1 способ :

способами, а остальные :

4 способами;3 способами;

2 способами;1 способом.

2 способ:

2 способ :


№7

Всего букв – 13.

«о»- два раза

«к»- два раза

«и»- два раза

«а»- два раза.




Всего букв – 11.

«а»- 5 раз

«б» - 2 раза

«р» - 2 раза.






Практикум по теме «Бином Ньютона».


I вариант. II вариант.



  1. Раскройте скобки и упростите

выражение.

а) (х + )6 ; а) (х - )5 ;

б) (2 + )5 . б) (- 3)4 .


  1. Найдите показатель степени бинома


( + )n , если второй член ( + х)n , если третий член

разложения не зависит от х. разложения не зависит от х.



  1. Найдите член разложения бинома


( + )n , содержащий х в первой ( + )n , содержащий х в первой

степени, если сумма всех биномиальных степени, если сумма всех биномиальных

коэффициентов равна 512. коэффициентов равна 128.


  1. В разложении бинома


( + )n третий биномиальный (+ )n коэффициенты третьего и

коэффициент в 4 раза больше второго. пятого членов относятся как 2:7. Найдите

Найдите член разложения , содержащий член разложения , содержащий .




Решение задач практикума по теме

«Бином Ньютона».











№2







№3


128 = 27 ; n = 7.
















№4











Практикум по теме « Условная и полная вероятность»


I вариант II вариант


  1. Используя понятие условной и полной вероятности,

формулу Бейеса , решите задачи :

а) В ящике лежат 12 белых , 8 черных и 10 красных

шаров. Какова вероятность того , что наугад

выбранный шар :


будет красным , если известно , что будет черным , если известно, что

он не черный ? он не белый ?

б) На заводе 50% деталей типа А1 производит рабочий

Уткин , 30% - рабочий Чайкин и 20% - рабочий

Воронин. Вероятность брака у этих рабочих составляет

5%, 3%, и 2% соответственно. Из партии деталей наугад

выбирается одна. Найдите вероятность того , что эта

деталь:


1) качественная; 1) бракованная;

2) бракованная и изготовлена Уткиным ? 2) качественная и изготовлена

Чайкиным?

в) В цехе 10 станков марки А , 6 – марки В и 4 – марки С.

Вероятность выпуска качественной продукции для

каждого станка составляет 0,9 ; 0,8 и 0,7 соответственно.

Какой процент


качественной бракованной


продукции выпускает цех в целом ?


  1. Используя понятие геометрической вероятности ,

решите задачи:


а) После бури на участке между 40-м и 70-м километрами

телефонной линии произошел обрыв провода. Какова

вероятность того , что обрыв провода произошел между:


50-м и 55-м километрами ? 60-м и 66-м километрами ?


б) В круг случайным образом бросают две точки. Найдите

вероятность того , что обе точки окажутся внутри

вписанного в этот круг правильного


шестиугольника ? треугольника ?




Решение задач практикума по теме « Условная и полная вероятность»


1 вариант 2 вариант

№1

а) Всего белых и красных – 22 ша- а) Всего черных и красных – 18 ша-

ра. Не черный – белый или красный. ров. Не белый – черный или

красный.




брак качеств.

б) Уткин 0,5 0,05 0,95

Чайкин 0,3 0,03 0,97

Воронин 0,2 0,02 0,98




в) А – 10 станков 0,5 в) А – 10 станков 0,9

В – 6 станков 0,3 В – 6 станков 0,8

С – 4 станка 0,2 С – 4 станка 0,7






№2

а)





а)















Практикум по теме «Классическая вероятность»


I вариант II вариант

  1. Бросают две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что выпадут:

«орел» и «решка» ? два «орла» ?

  1. Из 28 костей домино наугад выбирают

одну. Что вероятнее, что сумма цифр на

ней будет:


равна 6 или 8 ? равна 3 или 4 ?


  1. Какова вероятность того , что ваш будущий

ребенок родится:

30 – го числа ? 31- го числа ?

( год не является високосным).


  1. Из букв слова « апельсин » последовательно выбирают 4 буквы. Найдите вероятность того , что выбранные буквы в порядке их выбора образуют слово:

« лиса » ? « плен » ?


  1. Каждый из трех стрелков стреляет по мишени

один раз , причем вероятность попадания 1-го

стрелка составляет 90%, 2-го – 80 % ,3-го–70 %.

Найдите вероятность того, что :


а) все три стрелка поразят а) все три стрелка

мишень ? промахнутся ?

б) двое из трех стрелков б) двое из трех стрелков

промахнутся ? поразят мишень ?


Решение задач практикума по теме «Классическая вероятность»

1 вариант 2 вариант

№1


Варианты: ОО РР ОР РО Варианты: ОО РР ОР РО



№2







Ответ: вероятнее 6. Ответ: вероятнее 4.

№3




№4






№5











Практикум по математической статистике




Выборка:




2

4

2

4

3

3

3

2

0

6

1

2

0

2

4

3

2

2

3

3

1

3

3

3

7

4

3

4

2

3

2

3

3

1

4

3

3

6

4

1

3

2

4

1

3

1

0

0

3

2

2

4

3

3

5

1

1

1

2

3

1

4

3

1

1

4

5

3

4

2

4

5

4

6

4

7

4

1

3




По данной выборке составить:


  • вариационный ряд;

  • вычислить относительные и накопленные частости;

  • построить полигон и гистограмму;

  • составить эмпирическую функцию распределения;

  • построить график эмпирической функции распределения;

  • вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

    • выборочное среднее;

    • выборочную дисперсию;

    • среднеквадратическое отклонение;

    • моду;

    • медиану.



Пример выполнения:





значение случайной величины

частота появления

относительная частость

накопленная частость

0

4

0,0506

0,0506

1

13

0,1646

0,2152

2

14

0,1772

0,3924

3

24

0,3038

0,6962

4

16

0,2025

0,8987

5

3

0,0380

0,9367

6

3

0,0380

0,9747

7

2

0,0253

1,0000

сумма

79

1,0000

 









Задачи для домашних заданий.


1.В студенческой группе 15 девушек и 10т юношей. случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что это будет юноша .

Ответ:

2. Найти вероятность того , что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в этот квадрат круга , если её любое положение в квадрате равновозможно.

Ответ:


3.Вероятность успешной сдачи экзамена по первому ,второму и третьему предметам у данного студента соответственно равны: 0,6 ; 0,7 и 0,75. Найти вероятность того , что студент а) сдаст хотя бы один экзамен ;

б) сдаст только один экзамен ;

в) сдаст все три экзамена ;

г) не сдаст ни одного экзамена.

Решение :

а)

б)

в)

г)


4.Два охотника увидели волка и одновремённо в него выстрелили. Каждый охотник попадает в цель с вероятностью 0,6 . Найдите вероятность того , что

а) волк будет подстрелен ;

б) в волка попадет только один охотник .

Решение :

а)

б)


5.Студент пришел сдавать зачет , зная из 30 вопросов программы только 24. Чему равна вероятность сдать зачет, если для этого нужно ответить на случайно доставшейся ему вопрос ,а в случае неудачи ответ на дополнительный вопрос , предложенный ему преподавателем случайным образом ?

Решение :




6.В ящике лежит 15 шаров , из которых 5 – черных. Какова вероятность того , что при выборе из ящика трех шаров :

а) один окажется черным ?

б) два окажутся черными ?

Решение: задача «контроля качества»


а)





б)






7. Монету бросают шесть раз подряд. Найти вероятность того ,что

а) «решка» будет выпадать чаще ,чем «орел»;

б) «орел» будет выпадать не реже чем , «решка».

Решение:

а) Р – 4 Р – 5 Р – 6

0 – 2 0 – 1 0 – 0

Применим схему Бернули.



б) Р – 4 Р – 5 Р – 6 Р - 3

0 – 2 0 – 1 0 – 0 0 – 3




Самостоятельная работа (15 мин.)


  1. На сборку поступают одинаковые детали с трех предприятий, причем первое поставляет 50% , второе 30% и третье остальное количество. Вероятность появление брака для 1-го ,2- го и 3-го поставщиков, соответственно равны 0,05 ; 0,1 и 0,15 . Выборочный контроль обнаружил брак. Какова вероятность того , что брак произошёл по вине второго предприятия ?

Решение:


2. При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру и набрал её наугад , помня только что эта цифра нечетная . Найти вероятность того, что номер набран правильно.

Ответ:

3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятность того , что при возгорании датчик сработает, для 1-го и 2-го датчиков соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того , что при пожаре сработает хотябы один датчик.

Решение:


Контрольная работа (1 урок).


I вариант II вариант

  1. В игральной колоде 36 карт .Какова вероятность

того , что взятая наугад карта окажется :

а) валетом;

б) бубновой ?

а) тузом;

б) пиковой?




  1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05 , в

девятку – 0,1 , в восьмерку – 0,2 , в семёрку – 0,4.

Найдите вероятность выбить с одного выстрела :

больше 7 очков.

больше 8 очков.




  1. Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное

число

а) делится на 5;

б) содержит в записи цифру 0.

а) делится на 10;

б) содержит в записи цифру 9.




  1. Вероятность встретить на улице мужчину – блондина

составляет – 0,4.Какова вероятность того ,что среди

четырех прохожих мужчин встретится

не менее двух блондинов ?

не более двух блондинов ?




  1. Даны числа 1,2,3,4,6,8. Найдите вероятность того ,что

а) произведение любых двух из них будет

нечетным;

б) любые три наугад взятые числа могут

быть длинами сторон треугольника.

а) сумма любых двух из них будет нечетной;

б) Любые четыре наугад взятых числа

могут быть членами пропорции.



Решения задач контрольной работы.

I вариант II вариант

№1

а)

б)



а)

б)

№2




№3

а) всего двузначных чисел – 90

делится на 5 – 18



б)

а)

б) в первых 8 десятках – 8 чисел ,

в последнем – 10 чисел .




№4






№5

а)всего произведений:



нечетное произведение:

т.е. 1 вариант



стороны треугольника :

б) 3 ; 6 ; 8 ; 2 ; 3 ; 4

4 ; 6 ; 8 ; 3 ; 4 ; 6

всего исходов





а) нечетные суммы :





б)



5 вариантов .

всего исходов