uzluga.ru
добавить свой файл
1 2 ... 4 5
Индекс вариации и его приложение к анализу фрактальных структур


Михаил Михайлович Дубовиков,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела теоретической астрофизики Астрокосмического центра Физического института им. П.Н.Лебедева РАН (АКЦ ФИАН);

Область научных интересов: математическая физика, теория функциональных интегралов, теория турбулентности, фракталы, нелинейная динамика, теория катастроф, экономика, теория финансов, классическая филология, русская литература.


Николай Викторович Старченко,

аспирант кафедры прикладной математической физики МИФИ, начальник отдела инвестиций в иностранные финансовые активы ЗАО «Финансовая компания «Интраст».

Область научных интересов: уравнения математической физики, математическое моделирование, прогнозирование хаотических временных рядов, нелинейная динамика, теория катастроф, эконометрика

starchenko@intrast.ru


Подписи к рисункам:

1. Построение множества Кантора.

2. Построение кривой Кох.

3. «Снежинка Кох» на 4-м шаге итерации.

4. Без подписи.

5. Увеличение периметра береговой линии за счет деталей, появляющихся при уменьшении масштабного фактора карты.

6. Без подписи.

7. Типичное поведение цен: Короткие периоды равновесия (отмечены овалами) быстро заканчиваются сильными движениями.

В финансах графики цен принято изображать не одномерными линиями, а интервалами (т.н. баровые графики или графики в виде японских свечей). Один прямоугольник (называемый телом свечи) с двумя штрихами сверху и снизу (называемыми тенями свечи) изображает колебания цен в течение дня. Верхняя точка верхней тени показывает максимум цены, нижняя точка нижней тени – минимум цены за день. Верхняя и нижняя границы тела свечи показывают цену открытия и закрытия торгов. При этом если тело белого (черного) цвета, то закрытие выше (ниже) открытия.

8. Зависимость логарифма суммы амплитуд (вертикальная ось) от логарифма величины разбиения (горизонтальная ось), для графика ежедневных цен акций компании IBM.

9. Ежедневные цены акций компании Exxon Mobil Corporation (правая шкала, японские свечи) и график функции(t) (левая шкала, сплошная линия).


Аннотация


«Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции». При этом реальный диапазон масштабов, где может наблюдаться фрактальная структура, простирается от расстояний между молекулами в полимерах до расстояния между скоплениями галактик во вселенной. Фракталами являются также временные графики различных природных и социальных процессов, среди которых особой популярностью пользуются финансовые временные ряды.

Если посмотреть на фрактал в целом, затем на его часть, затем на часть этой части и т.д., то в соответствующем масштабе они выглядят примерно одинаково. Основной геометрической характеристикой таких структур является фрактальная размерность D (в случае временных функций используется также показатель Херста H=2-D).

В настоящей работе вводится новый фрактальный показатель – индекс вариации , который, как оказывается, связан с фрактальной размерностью D соотношением . Однако, для его расчета требуется на порядок меньше данных, чем для расчета D или H. Это позволяет, например, провести анализ ценовых рядов акций, который дает основание интерпретировать как показатель устойчивости цены по отношению к внешним воздействиям. Такой подход дает возможность на этом примере раскрыть механизм, определяющий характер поведения самых различных временных рядов.



следующая страница >>