uzluga.ru
добавить свой файл
1
Кинетический момент тела в сферическом движении.

Матрица тензора инерции

dm

r



s

Рис.6

Рассмотрим твердое тело в сферическом движении вокруг неподвижной точки О. Поскольку тело сплошное, то в выражении кинетического момента Ko сумму следует заменить интегралом по объему тела, а массу точки – элементарной массой dm.

(18)

Скорость точки тела находится по формуле Эйлера



Теперь



Представив векторное произведение в матричном виде

получаем матричную формулу кинетического момента (1)



Подставив (20) в (19), получим




В скобках выражения (2) находится матрица 3x3, которая называется матрицей тензора инерции Jо тела в центре О.



Таким образом, мы получили матричную формулу для кинетического момента тела в сферическом движении:



Лекции А.Костарева

Осевые и центробежные моменты инерции

Вычислим матрицу .



Матрица инерции представляет собой матрицу интегралов от (24):




Видим, что матрица Jo симметрична ( и т.д.) и, значит, имеет только шесть различных элементов.

Диагональные элементы называются осевыми моментами инерции относительно осей x, y и z имеют выражения

(26)

Остальные три интеграла называются центробежными моментами инерции

(27)

Размерность всех моментов инерции .

В принятых обозначениях матрица инерции приобретает вид



Рассмотрим основные свойства моментов инерции, (другие свойства будут рассмотрены в специальной главе).


Осевые моменты инерции

Заметим, что под знаками интеграла здесь стоят квадраты расстояний h от точки dm до соответствующей оси. Так . Поэтому момент инерции тела относительно произвольной оси L должен вычисляться по формуле:



где hL- расстояние от текущей точки dm до оси.

Видим, что осевой момент не может быть отрицательным или равным нулю, и характеризует удаленность точек тела от оси. Например, момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню, будет больше, чем относительно наклонной оси (Рис.7) поскольку x > h для любой точки стержня.

Jz > Jz’

Покажем, как практически вычисляется осевой момент инерции относительно оси z для однородного стержня массы М= γL (γ кг/м - погонная плотность , L- длина стержня).



Выражения моментов инерции тел правильной формы относительно некоторых осей можно найти в справочниках.


А. Костарев