uzluga.ru
добавить свой файл


27.10.09

Информационные расширения


Кто владеет информацией, тот владеет миром.

Ротшильд

Определения


– Как же – сказала Королева. – Это то, из чего делают квази-черепаший суп.

Л. Кэрролл

Во многих конфликтных ситуациях большое, если не решающее значение имеет информация о действиях противников, которой располагает тот или иной игрок.

Согласно одной из теорий даже происхождение человека связано с этим обстоятельством. Согласно этой теории, все началось с того, что из-за изменений климата тропические леса постепенно превратились в лесостепь. В результате этого человекообразным обезьянам, населявшим эти районы, стало «выгодно» перемещаться на двух ногах: скорость перемещения от этого, конечно, падала, но зато количество полезной информации оказывалось гораздо больше. Второй фактор перевесил первый. В результате руки освободились для труда, а труд создал из обезьяны человека.

Еще один пример. Во времена Наполеона полки щеголяли яркими разноцветными мундирами, поскольку полководцам было важно во время боя знать, где находится та или иная их часть. По мере совершенствования стрелкового оружия, увеличения масштабов боевых действий и совершенствования средств связи появилась необходимость и возможность скрывать эту информацию от противника. И войска переоделись в камуфляжную форму.

Если игрок принимает свое решение, имея информацию о выборах противников, значит, он принимает решение позже них. В то же время, нормальная форма игры1 предполагает, что решения принимаются одновременно. Чтобы найти пути выхода из этой коллизии рассмотрим простейший пример.

Обратимся к игре «Орел–решка», задаваемой матрицей . Предположим, что первый игрок, принимая свое решение, уже знает выбор противника. Несложный анализ показывает, что его возможности при этом значительно расширяются. В данном случае нетрудно заранее, еще не зная решения второго игрока, предложить оптимальный план действия первого игрока. По сути это означает, что мы можем выбрать такой план одновременно со вторым игроком.

Список подобных планов в данном случае не слишком велик:

  1. всегда выбирать «орел»;

  2. всегда выбирать решку;

  3. принимать то же решение, что и противник;

  4. принимать решение противоположное, принятому противнику.

Из этих четырех возможностей нам и предстоит сделать выбор. Но для этого нужно оценить результаты такого выбора. Что произойдет, например, если первый игрок выберет свой план номер 3, а второй игрок выберет «орел». Тогда первый игрок, в соответствии со своим планом и с выбором противника, должен будет сказать «орел», и образуется ситуация («орел»,«орел») в исходной игре. Выигрыш первого игрока в этой ситуации составит –1. Аналогичные рассуждения проходят и в других случаях.

Таким образом, приходим к новой игре, задаваемой матрицей . Обратим внимание на то, что она содержит подматрицу, равную матрице исходной игры.

Эти рассуждения приводят к следующему способу моделирования процесса принятия решений в случае наличия информационных обменов. Для каждого из игроков должен быть задан список планов действий в зависимости от получаемой информации. Далее, коль скоро каждый из игроков зафиксировал такой план, должен быть указан способ, позволяющий определить, какие же «физические» управления будут выбраны игроками в соответствии с этими планами. Наконец, выигрыши всех игроков должны зависеть только от этих «физических» управлений. Разумеется, никто не может запретить какому-то игроку вовсе отказаться от использования информации и выбирать во всех случаях одно и то же «физическое» управление. Эти соображения и нашли отражение в следующем определении.

Определение. Говорят, что игра *Г=<N,*U1,…,*Un,*g1,…,*gn> является к.вазиинформационным расширением игры Г=<N,U1,…,Un,g1,…,gn>, если задан набор <,c1,…,cn> функций :*U1…*UnU1…Un и ci:Ui*Ui, удовлетворяющий следующим двум аксиомам:

а) *gi(*u1,…,*un)=gi((*u1,…,*un)) для любого iN;

б) i(*uci(ui))=ui для всех iN, *u*U1…*Un, uiUi (здесь i обозначает композицию отображения  с проекцией декартова произведения U1…Un на сомножитель Ui.)

В дальнейшем элементы множества Ui будем называть управлениями i-го игрока, элементы множества *Uiего стратегиями, элементы множества U= U1…Un – исходом игры *Г, а элементы множества *U=*U1…*Un – ситуацией в этой игре.

      • Аксиоматический метод и принятие решений

Определение. Квазиинформационное расширение, в котором стратегии каждого игрока проинтерпретированы, как способы реагировать на определенную информацию о поведении партнеров, называется информационным расширением.

      • Обсуждение: само информационное расширение может быть точно не известным. Пример: разведчик