uzluga.ru
добавить свой файл
1
§40. Закон полного тока для магнитного поля в веществе.

Этот закон является обобщением закон полного тока для магнитного поля в вакууме. Ранее установлено что, циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную (). Магнитное поле в веществе создают как токи проводимости, так и молекулярные токи. С учетом этого теорема о циркуляции вектора примет следующий вид:

, (1)

где , –сумма токов проводимости и молекулярных токов соответственно.

Сумма молекулярных токов связана с циркуляцией вектора намагниченности следующим соотношением:

. (2)

С учетом равенства (2) выражением (1) примет вид



Последнее соотношение гласит, что циркуляция некоторого вектора равна сумме только (!) токов проводимости. Этот вектор получил название вектора напряженности магнитного, т.е.

. (3)

С учетом этого запишем следующее соотношение:

или . (4)

Теорема. Циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме только (!) токов проводимости, охватываемых этим контуром.


§41. Связь между векторами и .

Для диамагнитных и парамагнитных сред вектор намагниченности и вектор напряженности магнитного поля связаны прямо пропорциональной зависимостью

, (5)

где – магнитная восприимчивость среды.

С учетом этого равенство (3) примет вид

. (6)

Введя обозначения (- магнитная проницаемость среды), получим окончательно выражение

. (7)

Найдем вектор напряженности для бесконечного соленоида

.

Из последнего соотношение видно, что вектор не зависит от среды.

Вывод. Для описания магнитного поля в среде удобно применять поле вектора напряженности, поскольку густота линий этого вектора сохраняется при переходе от одной среды к другой. И, кроме того, циркуляция этого вектора по произвольному замкнутому контуру определяется только макро токами (тока проводимости).

На практике распределение токов проводимости обычно известно.

Тема №3: Уравнения Максвелла.




Джеймс Клерк Максвелл

Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом, возникли на основе ряда важных экспериментальных открытий, которые были сделаны в начале XIX века. В 1820 году Ганс Христиан Эрстед обнаружил[1], что пропускаемый через провод гальванический ток заставляет отклоняться магнитную стрелку компаса. Это открытие привлекло широкое внимание учёных того времени. В том же 1820 году Био и Савар экспериментально нашли выражение[2] для порождаемой током магнитной индукции (закон Био-Савара), и Андре Мари Ампер обнаружил, что взаимодействие на расстоянии возникает также между двумя проводниками, по которым пропускается ток. Ампер ввёл термин «электродинамический» и выдвинул гипотезу, что природный магнетизм связан с существованием в магните круговых токов[3].

Влияние тока на магнит, обнаруженное Эрстедом, привело Майкла Фарадея к идее о том, что должно существовать обратное влияние магнита на токи. После длительных экспериментов, в 1831 году, Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике электрический ток. Это явление было названо электромагнитной индукцией. Фарадей ввёл понятие «поля сил» — некоторой среды, находящейся между зарядами и токами. Его рассуждения носили качественный характер, однако они оказали огромное влияние на исследования Максвелла.

После открытий Фарадея стало ясно, что старые модели электромагнетизма (Ампер, Пуассон и др.) неполны. Вскоре появилась теория Вебера, основанная на дальнодействии. Однако к этому моменту вся физика, кроме теории тяготения, имела дело только с близкодейственными силами (оптика, термодинамика, механика сплошных сред и др.). Гаусс, Риман и ряд других учёных высказывали догадки, что свет имеет электромагнитную природу, так что теория электромагнитных явлений тоже должна быть близкодейственной. Этот принцип стал существенной особенностью теории Максвелла.

Теория электромагнитного поля, начало которой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом.

§42. Вихревое электрическое поле.

Для объяснение возникновения индукционного тока в неподвижных замкнутых контурах (второй опыт Фарадея) Максвелл предложил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, и является причиной возникновения индукционного тока в контуре (первое основное положение теории Максвелла).

Циркуляция вектора напряженности в замкнутом проводящем контуре равна ЭДС индукции, т.е.

. (8)

С учетом закона электромагнитной индукции , последнее соотношение примет вид

. (9)

По определению потока вектора : , откуда следует

. (10)

Заметим, что электрическое поле, создаваемое электрическими зарядами, является потенциальным. Силовые линии поля начинаются на положительных зарядах, и заканчиваются на отрицательных зарядах. Поэтому для потенциального поля .

Вывод. Электрическое поле, порожденное в замкнутом проводящем контуре, согласно выражению (10), является вихревым.

Источником вихревого электрического поля является переменное магнитное поле.

§43. Токи смещения.

Постановка задачи. Из соотношения (10) следует, что изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле (вектор поля ), линии вектора являются замкнутыми. Следует ожидать, что меняющееся со временем электрическое поле создаст магнитное поле (вектор ).

Рассмотрим следующий пример (см. рис.). Возьмем заряженный конденсатор, и начнем разряжать его через сопротивление .

По теореме о циркуляции вектора имеем соотношение


(11).


При вычислении интеграла в качестве контура , возьмем кривую, охватывающую провод, по которому течет ток , уменьшающийся со временем. На контур можно натянуть две поверхности и (см. рис.). Обе поверхности равноправны. Однако через поверхность течет ток , а через поверхность нет никакого тока!

Возникло противоречие: циркуляция вектора зависит от поверхности, которую мы натягиваем на контур интегрирования (?!). Чего быть не может. Причем для постоянных токов этого не наблюдалось (не было разрыва в замкнутой цепи).

Противоречия можно избежать, как показал Максвелл, следующим образом. По теореме Гаусса поток вектора электростатической индукции () замкнутую поверхность () и () равен сумме сторонних зарядов, охваченных этой поверхность, т.е.

. (12)

С другой стороны вектор плотности тока () связан с силой тока () соотношением. С учетом этого равенство (12) примет вид

. (13)

Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для постоянного тока.


Из равенства (13) видно, что кроме токов проводимости (движение заряженных частиц) имеется слагаемое (), размерность которого равна размерности плотности тока. Максвелл назвал это слагаемое плотностью тока смещения:

. (14)

Сумма тока проводимости и тока смещения является полным током. Его плотность равна:

. (15)

С учетом этого теорема о циркуляции вектора напряженности по произвольному замкнутому контуру равна сумме токов проводимости и токов смещения, охваченных этим контуром.

. (16)

Выясним, чем определяется скорость изменения вектора электрического смещения (). Вектор смещения связан с вектором напряженности электрического поля и вектором поляризации среды соотношением . Дифференцируя обе части равенства, получим соотношение

. (17)

Вывод. 1. Слагаемое (ток вектора поляризации) обусловлено движением связанных зарядов. В вакууме эта величина равна нулю.

2. Слагаемое Максвелл назвал плотностью «истинного» тока смещения. Величина не связана ни с каким движением зарядов, поэтому в вакууме эта величина не равна нулю.

Даже в вакууме, изменяющееся во времени электрическое поле порождает магнитное поле.

§44. Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме.

С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была завершена. Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория позволила Максвеллу предсказать ряд новых явлений.

Первое уравнение Максвелла является результатом обобщения закона электромагнитной индукции и имеет следующий вид:

. (18)

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока, взятого с противоположным знаком. Уравнение гласит, что создаваемое электрического поле является вихревым, т.к. линии вектора . являются замкнутыми.

Вторым уравнением Максвелла служит теорема Гаусса для потока вектора электрического смещения и заряда, непрерывно распределенного внутри этой поверхности с плотностью . Это уравнение имеет вид

. (19)

Поток вектора смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, расположенных внутри этой поверхности.

Третьим уравнением Максвелла является обобщенный закон полного тока для магнитного поля, и имеет следующий вид:

. (20)

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру всегда равна полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную этим контуром. Уравнение предсказывает порождение магнитного поля изменяющимся во времени электрическим полем.

Четвертое уравнение Максвелла – есть теорема Гаусса для вектора

. (21)

Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю, или поток входящих линий в замкнутую поверхность всегда равен потоку выходящих линий. Это значит, что линии вектора индукции всегда являются замкнутым, т.е. в природе нет магнитных зарядов.

Для стационарных электрических и магнитных полей () справедлива следующая система:

(22)

§45. Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

Используя математические теоремы Стокса и Гаусса полную систему уравнений Максвелла можно представить в дифференциальной форме:

(23)

Вывод. Первая пара уравнений гласит, что источником электрического поля могут служит либо электрические заряды (потенциальное поле), либо переменное магнитное поле (вихревое поле).

Вторая пара уравнение говорит о том, что магнитное поле порождается либо токами проводимости, либо токами смещения (магнитное поле всегда вихревое).

Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Поэтому для их решения необходимо задать начальные и граничные условия.

Уравнения Максвелла полностью совместимы с принципами специальной теории относительности. Они также применимы при микроскопическом описании вещества, когда заряженные частицы подчиняются принципам квантовой механики, а электромагнитное поле остаётся классическим (не квантовым).

Используя полученные уравнение, Максвеллу удалось получить уравнения для электромагнитных волн:



В результате этого установлено, что:

1. скорость распространения в непроводящей нейтральной неферромагнитной среде равна ,где совпадает со скорость света в вакууме. Таким образом, Максвелл установил, что свет является электромагнитной волной.

2. Электромагнитные волны являются поперечными



Синусоидальная (гармоническая) электромагнитная волна.

3. вектор скорости распространения электромагнитной волны , вектор напряженности электрического поля и вектор индукции магнитного поля образуют правую тройку векторов.