uzluga.ru
добавить свой файл
1 2 3 4
Задачи на движение по течению и против течения реки.

«Золотые мысли»

«Если мы действительно что – то знаем, то мы знаем благодаря изучению математики».

Пьер Гассенди (1592 – 1655),

французский философ и учёный.


Алгебра предлагает новые возможности решения задач. Чтобы научиться решать задачи, необходимо понять, как составить математическую модель к задаче, т.е. надо условие зада-чи, написанное на русском языке, перенести на язык математики. «Математика – это язык!» - сказал великий физик Гиббс.

Буквы помогают нам записывать условия задачи в виде уравнения, что намного упрощает решение этих задач.

Для составления уравнения по условию задачи необходимо выполнять следующие действия:

Ввести переменную, т.е. с помощью буквы обозначают неизвестную величину, которую

требуется найти в задаче, или она необходима для отыскания искомой величины.

С помощью введённой переменной и данных в задаче чисел и их соотношений составить

уравнение.

Решить уравнение.

Если с помощью буквы обозначена неискомая величина, то с помощью дополнительных

решений находят ответ на поставленный вопрос.


В известной книге Д. Пойа «Как решать задачу» приведена таблица «Как искать решение?»


Как искать решение?

1. Понять задачу.

- Что неизвестно?

- Что надо найти?

- Нельзя ли сформулировать задачу иначе, проще?

- Нельзя ли задачу свести к уже решённой?

- Все ли данные задачи были уже использованы?


2. Найти путь от неизвестного к известному.

- Что необходимо знать, чтобы найти неизвестное?


3. Реализовать решение от известного к неизвестному.

- Что можно найти, зная неизвестное?

- Проверить правильность каждого шага.


4 .Проверить решение.

- Правдоподобен ли результат?

- Нельзя ли сделать проверку?

- Нельзя ли упростить решение?


Уравнение, которое составляют на основании условий задачи на движение, обычно содержат такие величины как расстояние, скорость и время движущихся объектов.

Пройденный путь определяется по формуле где скорость, t – время.

Если объект, имеющий собственную скорость в стоячей воде, движется по течению реки,

скорость течения реки которой равна U, то скорость объекта (относительно берега) будет равна .

Если объект движется против течения реки, то скорость объекта (относительно берега) будет равна (очевидно, что должно выполняться ).

Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то считают, что плот имеет ту же ско-рость, что и течение реки, т.е. U.

Обращайте особое внимание на единицы измерения – они в течение всего решения должны быть одинаковыми. Если это часы, то время должно на протяжении всей задачи выражаться в


часах, а не в минутах, не должно в одном решении применяться километры и метры, путь в километрах, а время в часах, то скорость в километрах в часах.

Нужно все время помнить, о том что в текстовых задачах все величины, как правило, поло-жительны (ибо в природе скорости и расстояния положительны).


Решим задачу.

Моторная лодка прошла 4 км против течения реки, а затем прошла еще 33км по течению реки, затратив на это один час. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 6,5км/ч.


Проанализируем задачу, выделим все условия; установим, какие объекты входят в условие; какие характеристики или отношения между объектами заданы в условии.

- Обозначим через км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

- Выразим скорость движения моторной лодки по течению реки.

- Выразим скорость движения моторной лодки против течения реки.

- Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь по течению реки.

- Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь против течения реки.

- Составим уравнение, учитывая, что на весь путь моторная лодка затратила 1 час.

- Решим уравнение.

- Исключим те из корней уравнения, которые не соответствуют условию задачи.

Решение.


Обозначим через км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

Тогда скорость моторной лодки по течению реки равна (+6,5) км/ч, а против течения реки - (-6,5) км/ч.

Время, затраченное моторной лодкой по течению реки - часов, а против течения реки - часов.

Зная, что моторная лодка на весь путь затратит один час, составим уравнение: + =1.


Решение уравнения.


+ = 1, если то умножим обе части уравнения на , получим

33 +4= ,





и

Если и , то , значит и - являются корнями данного уравнения.

4,5 км/ч- не удовлетворяет условию задачи (при такой скорости моторная лодка не поплыла бы против течения реки).

32,5 км/ч – скорость моторной лодки в стоячей воде.

Ответ. 32,5 км/ч.


1-ая часть

В первой части рассматриваются примеры составления математической модели к задаче, работать с математической моделью.(математические классы)


Текстовые задачи на движение по течению и против течения реки.


1. Пункты А и В расположены на берегу реки. Почтальон доставляет корреспонденцию из А в В

на моторной лодке, проплывая против течения число километров, равное тому значению в

уравнении при котором дискриминант его равен единице. Определите

скорость течения реки, если на весь путь туда и обратно уходит 1ч 6 мин 40 сек, а скорость дви-

жения лодки в стоячей воде 9,6 км /ч.


Решение.


Зная, что число километров равно тому значению в уравнении при котором дискриминант его равен единице, т.е.







S, км

V, км/ч

t, ч

по течению

реки

5







против тече-

ния реки

5








Пусть км/ч скорость течения реки.

Зная, что на весь путь туда и обратно уходит 1ч 6 мин 40 сек, т.е. часа, составим уравнение:

+ = .

Решение уравнения.


+ = , если то умножим обе части уравнения на получим













При выражение то - корень уравнения.


2,4 км/ч - скорость течения реки.


Ответ. 2,4 км/ч.


2. От пристани А к пристани В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и

байдарка. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Последнюю 1/10 часть пути от А до В моторная

лодка плыла с выключенным мотором, и ее скорость относительно берега была равна скорости

течения. На той части пути, где моторная лодка плыла с работающим мотором, ее скорость была

на 8 км/ч больше скорости байдарки. К пристани В моторная лодка и байдарка прибыли одновре-

менно. Найти собственную скорость (скорость в неподвижной воде) байдарки.


Решение.


Пусть км/ч собственная скорость байдарки.





S, км

V, км/ч

t, ч

моторная

лодка



+2+8



байдарка

S







моторная

лодка



2




Зная, что к пристани В моторная лодка и байдарка прибыли одновременно, составим уравнение:

+ = .


Решение уравнения.


+ = , если то умножим обе части уравнения на и то разделим обе части уравнения на S, получим







,

- не удовлетворяет условию задачи, так как



Если то то корень уравнения.


8 км/ч – собственная скорость байдарки.


Ответ. 8 км/ч.



следующая страница >>