uzluga.ru
добавить свой файл

Трансцендентные поверхности


Е.В. Денисова

Руководитель: к.п.н., доцент А.В. Бобровская

ГОУ ВПО «Шадринский государственный педагогический институт», г. Шадринск

Поверхность - одно из основных геометрических понятий. Существует несколько различных подходов к понятию поверхности. Например, поверхностью называют фигуру, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарных поверхностей. При этом элементарной поверхностью называют множество, при проекции которого на некоторую плоскость оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображается на открытую область в этой плоскости.

Поверхностью, определяемой уравнением , будем называть совокупность всех точек , как действительных, так и комплексных, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Исходя из этого определения, все поверхности можно разделить на два больших класса – алгебраические и трансцендентные.

Алгебраической поверхностью будем называть множество всех точек комплексного пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению , левая часть которого многочлен относительно с численными коэффициентами.

Порядком алгебраической поверхности называют степень ее уравнения в какой-либо аффинной системе координат (то есть степени многочлена в уравнении этой поверхности).

Примером поверхности первого порядка является плоскость, примерами поверхностей второго порядка могут служить эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды.

Трансцендентной (неалгебраческой) называют поверхность, определяемую уравнением , где - трансцендентная функция (трансцендентной функцией называется аналитическая функция, не являющаяся алгебраической).

Трансцендентные поверхности порядка не имеют.

Простейшими примерами трансцендентных функций служат показательная функция, тригонометрические функции, логарифмическая функция.

Рассмотрим катеноид - трансцендентную поверхность, образованную вращением цепной линии вокруг оси . Катеноид является поверхностью вращения.

Поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой , называется поверхностью вращения.


Для составления параметрических уравнений катеноида будем пользоваться следующим алгоритмом:

  1. Выбираем систему координат.

  2. Выполняем чертеж.

  3. Выбираем «текущую» точку .

  4. Выбираем параметр, если он не известен по условию задачи.

  5. Выражаем координаты точки через данные и параметр.

  6. Преобразуем полученное уравнение.

Выберем в декартовой прямоугольной системе координат точку , лежащую в плоскости . Преобразуем неявное уравнение цепной линии к параметрическому виду, для чего выразим через параметр . - получим параметрические уравнения цепной линии.

При вращении точка переходит в точку . Выразим через параметры . Второй параметр , характеризующий движение точки, это угол между положительной полуосью и отрезком .

Рассмотрим прямоугольный треугольник .

. . , находим как ординату точки .

Запишем параметрические уравнения катеноида и изобразим его на чертеже (рисунок 2).




Примерами трансцендентных поверхностей также являются тор, задаваемый параметрическими уравнениями , , и псевдосфера, задаваемая параметрическими уравнениями .