uzluga.ru
добавить свой файл


Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории линейных пространств и линейных операторов

  • Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением.

  • Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В векторной алгебре изучаются линейные операции над свободными векторами (сложение векторов и умножение вектора на число) и различные произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное и двойное векторное). В векторном анализе изучают векторы, являющиеся функциями одного или нескольких скалярных аргументов.


§ 6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец).



Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора.

  • Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора.







2. Линейные операции на множестве векторов

  • 1) Умножение на число; 2) Сложение векторов







СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ



§ 7. Понятие линейного пространства 1. Определение и примеры

  • Пусть L – некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа из F (где Fмножество рациональных, действительных или комплексных чисел).

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество L называется линейным пространством над F если для любых элементов a,b,cL и для любых чисел ,F выполняются условия:

  • 1. a+b=b+a (коммутативность сложения элементов из L);

  • 2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения элементов из L);

  • 3. Во множестве L существует такой элемент o, что a+o=a. Элемент o называют нулевым элементом множества L;

  • 4. Для любого элемента a L элемент –a L такой, что a+(–a)=o. Элемент –a называют противоположным к a;

  • 5. (a)=()a (ассоциативность относительно умножения чисел);



6. (+)a=a+a (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел);

  • 6. (+)a=a+a (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел);

  • 7. (a+b)=a+b (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из L);

  • 8. 1a=a.

  • Линейное пространство над ℝ называют еще вещественным (действительными) линейным пространством, а над ℂ – комплексным.

  • ЛЕММА 2. Пусть L – линейное пространство над F. Тогда для любых элементов a,b L и любых чисел , F справедливы следующие утверждения:

  • 1) 0·a = o, ·o = o;

  • 2) (–) · a =  ·(–a) = –a, (–) ·(–a) = a;

  • 3)  ·(a–b) = a – b, (–) · a = a – a.

  • Наряду с термином «линейное пространство» используется также термин «векторное пространство», а элементы линейного пространства принято называть векторами.



2. Подпространства линейных пространств

  • Пусть L – линейное пространство над F, L1 – непустое подмножество в L.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что L1 является подпространством линейного пространства L (или линейным подпространством), если оно само образует линейное пространство относительно операций, определенных на L .

  • Если L1 является подпространством линейного пространства L, то пишут: L1 ≤ L

  • ТЕОРЕМА 3 (критерий подпространства). Пусть L – линейное пространство над F, L1 – непустое подмножество в L . L1 является подпространством линейного пространства L тогда и только тогда, когда для любых элементов a,b L1 и любого  F выполняются условия:

  • 1) a – b L1;

  • 2) ·a  L1.