uzluga.ru
добавить свой файл



Современный человек –это образованный профессионал. И чтобы в жизни добиться успехов и стать профессионалом в той или иной области нужны прочные знания. Знания естественно выходящие за пределы школьной программы. Знания которые мы получаем из научно-популярной литературы. Я рассмотрела несколько интересных и значимых теорем вне программы.

  • Современный человек –это образованный профессионал. И чтобы в жизни добиться успехов и стать профессионалом в той или иной области нужны прочные знания. Знания естественно выходящие за пределы школьной программы. Знания которые мы получаем из научно-популярной литературы. Я рассмотрела несколько интересных и значимых теорем вне программы.



1.Введение.

  • 1.Введение.

  • 2.Элементы треугольника.

  • 3.Теорема Чевы.

  • 4.Теорема Минелая.

  • 5.Теорема Морлея.

  • 6.Заключение



Простейший из многоугольников - треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на трех китах - трех признаках равенства треугольников

  • Простейший из многоугольников - треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на трех китах - трех признаках равенства треугольников



Крылатую фразу Козьмы Пруткова « Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать. Впрочем, иной раз эти благородные чувства перерастают в изумленное раздражение, едва ли не в протест: если уж с виду такая « игрушечная» область геометрии настолько сложна, то в чем же вообще тогда можно разобраться?

  • Крылатую фразу Козьмы Пруткова « Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать. Впрочем, иной раз эти благородные чувства перерастают в изумленное раздражение, едва ли не в протест: если уж с виду такая « игрушечная» область геометрии настолько сложна, то в чем же вообще тогда можно разобраться?

  • Интересно попробовать понять, а почему тот или иной результат геометрии треугольника оказывает на нас большее или меньшее воздействие. В грубом приближении ответ на этот вопрос следующий: красивая теорема в геометрии



треугольника связана, как правило, с замечательными точками, прямыми или окружностями. Но прямая или окружность замечательна, еcли содержит какие-нибудь замечательные точки треугольника. В точки эти, стало быть, все и упирается. Однако как сравнить степень их «замечательности» между собой? Очевидно, точка тем более замечательна, чем с более естественными и содержательными конфигурациями треугольника она взаимодействует. Поэтому в первый ряд следует поставить кончено, таких заслуженных ветеранов, как точку пересечения медиан ( центр тяжести), центр вписанной окружности, точку пересечения высот(ортоцентр).

  • треугольника связана, как правило, с замечательными точками, прямыми или окружностями. Но прямая или окружность замечательна, еcли содержит какие-нибудь замечательные точки треугольника. В точки эти, стало быть, все и упирается. Однако как сравнить степень их «замечательности» между собой? Очевидно, точка тем более замечательна, чем с более естественными и содержательными конфигурациями треугольника она взаимодействует. Поэтому в первый ряд следует поставить кончено, таких заслуженных ветеранов, как точку пересечения медиан ( центр тяжести), центр вписанной окружности, точку пересечения высот(ортоцентр).



Медианы треугольника- отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны

  • Медианы треугольника- отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны

  • Биссектрисы треугольника- отрезок биссектрисы одного из углов этого треугольника, заключённый между его вершиной и противоположной стороной.

  • Высоты треугольника- отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны.



Центр тяжести треугольника(центроид)- точка пересечения медиан треугольника.

  • Центр тяжести треугольника(центроид)- точка пересечения медиан треугольника.

  • Центр вписанной окружности- пересечение биссектрис трёх углов треугольника.

  • Ортоцентр треугольника- точка пересечения трёх высот треугольника.







  • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что прямые АА1 , ВВ1 , СС1 пересекаются в точке О

  • Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную АВ, и ее точки пересечения с прямыми АА1 , ВВ1 обозначим соответственно А2, В2. Из подобия треугольников СВ2В1 и АВВ1 , имеем равенство

  • 1

  • Аналогично, из подобия треугольников ВАА1 и СА2 А1 имеем равенство

  • 2

  • Далее , из подобия треугольников ВС1О и В2СО , АС 1О и А2СО имеем

  • Следовательно , имеет место равенство

  • 3

  • перемножая равенство 1, 2 и 3 получим требуемое равенство

  • Докажем обратное. Пусть для точек А1 , В1 , С1 , взятых на соответствующих сторонах треугольника АВС, выполняется равенство

  • Обозначим точку пересечения прямых АА1 и ВВ1 через О и точку пересечения прямых СО и АВ через С'. Тогда, на основании доказанного , имеет место равенство

  • Учитывая равенство

  • получим равенство

  • из которого следует совпадение точек С' и С1, значит , прямые АА1, ВВ1 , СС1 пересекаются в одной точке.









  • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что точки А1 ,В1, С1 принадлежат одной прямой а .Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную а, и обозначим D точку ее пересечения с АВ. Из подобия треугольников АDС и АС1В1 следует выполнимость равенства

  • Аналогично, из подобия треугольников ВDС и ВС1А1 следует выполнимость равенства

  • Перемножая эти равенства, получим равенство

  • из которого следует требуемое равенство

  • Докажем обратное. пусть на сторонах АВ, ВС и продолжении стороны АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1 , А1 и В1 для которых выполняется равенство

  • Предположим, что прямая А1 В1 пересекает прямую АВ в некоторой точке С' . Тогда выполняется равенство

  • Учитывая равенство

  • получаем равенство

  • , из которого следует совпадение точек С΄ и С 1, значит, точки А1 , В1 , С1 принадлежат одной прямой.



Задача №3. Дано:

  • Задача №3. Дано:

  • ,

  • С1 Є АВ, В1 Є АС,

  • Найти:

  • Решение:

  • По условию , По теореме

  • Менелая имеем

  • Ответ:





Некоторые пояснения. Трисектрисами( по аналогии с биссектрисой) называются прямые, делящие угол треугольника на три равные части. Смежными будем называть трисектрисы, ближайшие к одной стороне.

  • Некоторые пояснения. Трисектрисами( по аналогии с биссектрисой) называются прямые, делящие угол треугольника на три равные части. Смежными будем называть трисектрисы, ближайшие к одной стороне.

  • Почему Франк Морлей выбрал именно эти трисектрисы и как он обнаружил этот равносторонний треугольник ( который позже назвали его именем),остается загадкой, но впоследствии при компоновке трисектрис внутренних и внешних углов треугольника было обнаружено еще несколько равносторонних треугольников. Всего их получилось 18. Возможно Морлей был первым, кто преодолел страх перед задачей о трисекции угла и решил исследовать такой загадочный объект, как трисектриса. Однако трисектриса до сих пор остается малоизученной прямой. Удивительным является и то, что эта теорема, носящая такой общий характер, стоит в планиметрии как-то особняком, то есть она мало связана с другими теоремами и фактами. Проведем рассуждение «обратным ходом»



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть РQR-равносторонний треугольник. Зададим положительные

  • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть РQR-равносторонний треугольник. Зададим положительные

  • числа так, чтобы.

  • Определим ,

  • Аналогично для и

  • ,

  • ,

  • Отметим точку A так чтобы и .

  • Тогда

  • Аналогично построим точки В и С. Для доказательства,

  • достаточно показать, что .

  • По теореме синусов, применённой к треугольнику AQC,

  • а затем к треугольникам CQR и AQP,

  • в силу того, что QR=QP, заключаем

  • С учётом того, что ,

  • получаем, что ,

  • .





ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  • ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  • Казалось бы , на этом можно и завершить разговор о теоремах Морлея, Менелая и Чевы. Однако хочется, чтобы весь изложенный материал стал началом для изучения свойств треугольника , ведь для пытливого ума любая фундаментальная теорема порождает больше вопросов, чем ответов. Желаю всем фантазировать, задавать себе вопросы, выдвигать идеи.

  • Ведь каждый любитель геометрии треугольника имеет шанс открыть нечто новое и пополнить ее сокровищницу собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема!



М.Балк, В.Болтянский. Геометрия масс.-М.:Наука, 1987

  • М.Балк, В.Болтянский. Геометрия масс.-М.:Наука, 1987

  • А.Мякишев. О некоторых преобразованиях, связанных с треугольником. Математическое образование №1,1999

  • Журналы « Математика в школе « №6,№9,№17, 2004.