uzluga.ru
добавить свой файл
1


  • 1.2. Элементарные преобразования матриц

  • Определение 1.7. Элементарными преобразованиями матрицы А

  • называются следующие преобразования:

  • 1) перестановка любых двух строк (столбцов) в матрице;

  • 2) умножение любой строки (столбца) на любое ненулевое число;

  • 3) прибавление к любой строке (столбцу) другой строки (столбца),

  • умноженной на любое число.

  • Матрицы А и В называются эквивалентными (А В), если они получаются

  • одна из другой с помощью цепочки элементарных преобразований.


Пример 1.1.

  • Пример 1.1.

  • ~ ~

  • ~ ~ ~ ~

  • Теорема 1.2. Любую квадратную матрицу можно с помощью цепочки элементарных преобразований привести к «треугольному» виду.

  • Пример 1.2.

  • ~ ~ ~

  • ~ ~



  • Теорема 1.3. Любую прямоугольную (неквадратную) матрицу А можно с помощью цепочки элементарных преобразований привести к, так называемому, «почти треугольному» виду или к «ступенчато–треугольному» виду.

  • Замечание. «Ступенчато–треугольной» матрицей назовем матрицу «почти треугольного» вида, у которой в каждой следующей строке (начиная со второй строки) количество нулевых элементов подряд (начиная с левого конца этой строки) больше, чем в предыдущей строке.

  • Примеры

  • 1.3. ~ ~ ~

  • ~ ~ ~ ~

  • ~



  • 1.4. ~ ~ ~

  • 1.5. ~

  • 1.6. ~ ~

  • 1.3. Ранг матрицы

  • Определение 1.8. Пусть дана матрица А, которая (согласно теоремам 1.2 и 1.3) может быть приведена к треугольному или «почти треугольному» виду (или «ступенчато–треугольному» виду). Количество базисных элементов в преобразованной матрице называется рангом матрицы (и одновременно рангом преобразованной матрицы). Ранг матрицы обозначается через .



Замечание. Ранг можно определить и как количество ненулевых строк в матрице «ступенчато треугольного» вида.

  • Замечание. Ранг можно определить и как количество ненулевых строк в матрице «ступенчато треугольного» вида.

  • Например. В примере 1.4 базисных элементов в преобразованной матрице – два, ненулевых строк в преобразованной матрице «ступенчато треугольного» вида – тоже два:

  • В примере 1.6:

  • 1.4. Определитель матрицы. Свойства определителей

  • Определение 1.9. Пусть дана квадратная матрица А. Согласно теореме 1.2 её можно с помощью цепочки элементарных преобразований (алгоритм Гаусса) привести к треугольному виду:



  • Тогда число

  • , (1.11)

  • где р – число перестановок строк в алгоритме Гаусса, с помощью которого

  • из А получена , называется определителем матрицы А.

  • Пример 1.7. Найти определитель матрицы А:

  • ~ ~ ~ ~

  • ~ ~

  • Свойства определителей

  • 1. Пусть Е – единичная матрица, тогда

  • (1.12)



2. Пусть – диагональная матрица, тогда



  • Определение 1.10. Пусть – квадратная матрица, – её элемент, тог-да минором этого элемента называется число , равное определителю матрицы, которая получается из матрицы А «вычеркиванием» её i–ой строки и j–го столбца. Алгебраическим дополнением элемента назы-вается число .

  • 6. Пусть А – квадратная матрица, тогда её определитель может быть вычислен «разложением по любой строке (или любому столбцу)». Например, «разлагая по первой строке», получим:

  • . (1.16)



Пример 1.8.

  • Пример 1.8.

  • Замечание.



7. Если в квадратной матрице А имеется чисто нулевая строка (столбец), то определитель такой матрицы равен нулю. Свойство 8 следует из свойства 7.

  • 7. Если в квадратной матрице А имеется чисто нулевая строка (столбец), то определитель такой матрицы равен нулю. Свойство 8 следует из свойства 7.

  • 8. Пусть А и В – квадратные матрицы одинакового размера, которые полу-чаются друг из друга с помощью цепочки элементарных преобразований типа 1) и 3) (см. определение 1.7), тогда , (1.17)

  • где р – число перестановок строк в цепочке элементарных преобразований при переходе от А к В (или от В к А ).

  • 9. Если в матрице А имеются две пропорциональные строки (столбца), то её определитель равен нулю.

  • Пример 1.9. В матрице: – первая и вторая строки пропорци-

  • ональны: . Далее:

          • ~ , поэтому по свойству 9
          • , но по свойству 8 , то есть .
  • 10. Если А и В – две квадратные матрицы одинакового размера, то



11. Если матрица А имеет к себе обратную , то .

  • 11. Если матрица А имеет к себе обратную , то .

  • 1.5. Метод нахождения обратной матрицы

  • Теорема 1.4. Пусть А – матрица размера . Если , то такая матрица имеет к себе обратную. При этом обратную матрицу можно найти так:

          • (1.18)
  • Замечание. Если же , то обратная матрица не существует (см. замечание к определению 1.6).

  • Пример 1.10. Найти обратную матрицу к матрице .

  • Решение

  • Имеем: , поэтому

  • по теореме 1.4 матрица А имеет обратную: . (1.19)



Далее:

  • Далее:

  • Из (1.19) получаем: .

  • Проверка:

  • Ответ: .