uzluga.ru
добавить свой файл


Функции нескольких переменных


Функцией двух переменных называется правило,





Способы задания функции двух переменных

  • Аналитический

  • Табличный

  • Графический





Частные производные



Рассмотрим функцию

  • Рассмотрим функцию

  • Зафиксируем ,тогда функция

  • примет вид

  • Пусть аргумент в точке получил

  • приращение , тогда



Предел ,

  • Предел ,

  • если он существует, называется частной

  • производной (I порядка) функции

  • по x в точке и обозначается:

  • ; ; ;



Рассмотрим функцию

  • Рассмотрим функцию

  • Зафиксируем ,тогда функция

  • примет вид

  • Пусть аргумент в точке получил

  • приращение , тогда



  • называется частной производной

  • (I порядка) функции по y в точке

  • и обозначается:

  • ; ; ;



Частные производные высших порядков.



Пример.

  • Пример.

  • Вычислить частные производные

  • второго порядка функции .

  • , , , ,

  • , .



Полный дифференциал.



Пример.

  • Пример.

  • Найти полный дифференциал функции

  • в произвольной точке.

  • ,



Скалярное поле



Часть пространства (или всё

  • Часть пространства (или всё

  • пространство), каждой точке

  • которого соответствует численное значение

  • некоторой скалярной величины

  • называется скалярным полем.



Производная по направлению.



Градиент



Экстремум функции двух переменных



Необходимое условие существования экстремума.

  • Пусть функция в точке

  • имеет экстремум и пусть существует

  • и .

  • Тогда ,



Достаточное условие существования экстремума



Пусть для функции в

  • Пусть для функции в

  • критической точке существуют

  • производные , , .

  • Составим определитель





Возможны три случая:

  • Возможны три случая:

  • >0 , тогда точка – точка

  • экстремума:

  • при >0 – точка минимума;

  • при <0 – точка максимума.

  • 2) <0, тогда не является точкой

  • экстремума.



  • =0 , тогда необходимы

  • дополнительные исследования.





Решая систему ,получим четыре

  • Решая систему ,получим четыре

  • стационарные точки



Проверим достаточное условие экстремума

  • Проверим достаточное условие экстремума

  • в каждой из точек.

  • ; ; .

  • Для точки :

  • Значит, в точке экстремума нет.



2) Для точки : , .

  • 2) Для точки : , .

  • В точке функция имеет минимум.

  • Аналогично, проверяют точки и .