uzluga.ru
добавить свой файл
1


Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс

  • МБОУ-ООШ № 25

  • Подготовила: учитель математики

  • Оганесян Валентина Ашотовна


Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

  • Чтобы построить всю тригонометрию, законы которой 

  • были бы справедливы для любых углов

  • (не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов ), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1 ( рис.3 ).



Проведём два диаметра: горизонтальный AA’  и вертикальный BB’.  Будем отсчитывать углы от точки A ( начальная точка ). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные – против.  Подвижный радиус OC образует угол    с неподвижным радиусом OA.Он может быть расположен в 1-ой четверти ( COA ), во 2-ой четверти ( DOA ), в 3-ей четверти (EOA ) или в 4-ой четверти ( FOA ). Считая OA и OB положительными направлениями, а OA’ и OB’ – отрицательными, мы определим тригонометрические функции следующим образом.  

  •  



Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга.



Линия синуса угла    ( рис.4 ) - это вертикальный диаметр единичного круга,  линия косинуса угла   - горизонтальный диаметр единичного круга. Синус угла    ( рис.4 ) – это отрезок OB на линиисинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию синуса; косинус угла   - отрезок OAлинии косинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию косинуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.5 и рис.6.



Линия тангенса ( рис.7 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A горизонтального диаметра. Линия котангенса ( рис.8 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В вертикального диаметра. Тангенс – это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения ( D, E, и т.д., рис.7 ) линии тангенса и линии радиуса. Котангенс – это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.8 ) линии котангенса и линии радиуса.  

  • Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга



 Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.9.



Тригонометрические функции острого угла

  • Тригонометрические функции острого угла есть отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника   ( рис.2 ):



Тригонометрические функции острого угла: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. 

  • 1) Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе:  sin A = a / c .  

  • 2) Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе:  cos A = b / c .

  • 3) Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему:  tan A = a / b .

  • 4) Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему: cot A = b / a .

  • 5) Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету:  sec A = c / b .

  • 6) Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A = c / a .



Прямоугольный треугольник ABC  ( рис.2 ) имеет катеты:      = 4,  b = 3. Найти синус, косинус и тангенс угла A.  

  • Р е ш е н и е .  Во-первых, найдём гипотенузу, используя теорему Пифагора:

  •  

  •                                                        2 = a + b 2 ,

  •                                                    Согласно вышеприведенным формулам имеем:

  •                          sin A = a / c = 4 / 5;  cos A = b / c = 3 / 5;  tan A = a / b = 4 / 3. 



Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических функций. Наиболее важные случаи приведены в таблице:



Углы 0° и 90°, строго говоря,

  • не являются острыми в прямоугольном треугольнике, однако при расширении понятия тригонометрических функций эти углы также рассматриваются.

  • Символ    в таблице означает, что абсолютное значение функции неограниченно возрастает, если угол приближается к указанному значению.



Решение прямоугольных треугольников  По двум сторонам. По стороне и острому углу.

  • По двум сторонам. Если заданы две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона вычисляется по теореме Пифагора.

  •  Острые углы могут быть определены по одной из трёх первых формул для тригонометрических функций в зависимости от того, какие стороны известны. Например, если заданы катеты  a и b , то угол A определяется по формуле:

  • tan A = a / b .



П р и м е р  1.Катет a = 0.324, гипотенуза   c = 0.544. Найти второй катет  b и углы A и B.

  • Р е ш е н и е .Катет  b  равен:



П р и м е р 2. Даны два катета: a = 7.2 см,   b = 6.4 см. Найти гипотенузу и углы A и B.

  • Р е ш е н и е .Гипотенуза  c  равна:



По стороне и острому углу.

  • Если задан один острый угол A, то другой острый  угол B находится из равенства: 

  •  B = 90° - A. Стороны находятся по  формулам тригонометрических функций, переписанных в виде:

  • a = c sin A ,  b = c cos A ,  a = b tan A ,

  • b = c sin B ,  a = c cos B ,  b = a tan .

  • Остаётся выбрать те формулы, которые содержат заданную или уже найденную сторону.



П р и м е р . Дано: гипотенуза  c = 13.65 м  и острый угол A = 54°17’. Найти другой острый угол B и катеты   и  b .



Радианное и градусное измерение углов

  • Градусная мера.  

  • Здесь единицей измерения является градус 

  • ( обозначение ° ) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ‘ );  одна минута – соответственно из 60 секунд (обозначаются “ ).



Радианная мера .

  • Как мы знаем из планиметрии длина дуги  l , радиус  r  и соответствующий центральный угол  а  связаны соотношением:

  •  а = l / r .

  • Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так,  если  l = r ,  то а = 1,  и мы говорим, что угол    равен 1 радиану, что обозначается: а  = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

  •  



Следуя этой формуле, длину окружности  C  и её радиус   можно выразить следующим образом:

  • 2  =  C / r .

  • Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует  2  в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана, и обратно:



Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:



Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Эти формулы являются основными тригонометрическими тождествами.  



п-33. Формулы приведения



п-33. Формулы приведения



п-33. Формулы приведения

  • Эти формулы позволяют:

  •   1)  найти численные значения тригонометрических функций углов, бо’льших 90°;

  • 2)  выполнить преобразования, приводящие к более простым выражениям;

  • 3)  избавиться от отрицательных углов и углов, бо’льших 360°.





п 34. Формулы сложения и вычитания



п 34. Формулы сложения и вычитания



Основные соотношения между элементами треугольника.

  • Теорема косинусов. Теорема синусов. Теорема тангенсов.

  • Формулы площади, формула Герона.

  • Радиусы описанного и вписанного кругов

  • Обозначения:  a,  b,  c – стороны;  

  • A,  B,  C – углы;   p = ( a + b + c ) / 2 - полупериметр;   h –высота;   

  • S – площадь;   R – радиус описанного круга;   

  • r – радиус вписанного круга.

  •  



Теорема косинусов:



Теорема синусов:



Теорема тангенсов:



 Формулы площади, формула Герона:



Радиусы описанного и вписанного кругов:



Решение косоугольных треугольников.

  • Заданы три стороны  a, b, c . Найти углы A, B, C. 

  • По теореме косинусов находим один из углов:



второй угол находим по теореме синусов:



П р и м е р .   Заданы три стороны треугольника:  a = 2,  b = 3,  c = 4.  Найти его углы.



Дано: две стороны   и  и угол между ними. Найти сторону  и углы  и B.  По теореме косинусов находим сторону  c :

  • 2   =  a 2 +  b 2 - 2 ab · cos C ;

  • а затем по теореме синусов – угол  A :

  • здесь необходимо подчеркнуть, что  A – острый угол, если  b / a > cos C, и тупой угол, если b / a < cos C. Третий угол  B = 180° - ( A + C ).



Заданы любые два угла и сторона. Найти третий угол и две другие стороны. Очевидно, что третий угол вычисляется по формуле:   A+ B+ C = 180°,  и тогда используя теорему синусов, мы найдём две другие стороны.

  • Даны две стороны   и   и угол  B, противоположный одной из них. Найти сторону  и углы  A  и  C.

  • Сначала по теореме синусов найдём угол A



Здесь возможны следующие случаи:

  • 1)   a > b ;  a · sin B > b  –  здесь решения нет;

  •     2)   a > b ;  a · sin B = b  –  здесь одно решение,  A – прямой угол;

  •     3)   a > b ;  a · sin B < b < a  –  здесь два решения:  A  может быть либо острым, либо тупым углом;

  •     4)   a   b  –  здесь одно решение,  A – острый угол.

  •  



После нахождения угла A, найдём третий угол: 

  •  C = 180° - ( A+ B ). Если A может иметь два значения, то и  C может иметь два значения. Теперь по теореме синусов можно найти третью сторону:



Если угол  C имеет два значения,

  • то и сторона  c  имеет два значения, следовательно, заданным условиям удовлетворяют два различных треугольника.   

  •  Дано:  a = 5, b = 3,  B = 30°.

  •  Найти сторону  c и углы A и C.   



Р е ш е н и е 

  • Здесь: a > b  и  a sin B < b. ( Проверьте, пожалуйста! ).

  • Тогда согласно случаю 3 здесь возможны два решения: